I. Intégrale d'une fonction positive
L'idée de départ de ce cours est de calculer l'aire comprise entre deux droites verticales, la représentation graphique d'une fonction positive et l'axe des abscisse.C'est un problème déjà ancien et facile à résoudre si la fonction est une droite.
Exemple
Sur la figure ci-dessous le rectangle EFHG mesure 12u.a.. L'unité d'aire étant représenté par le rectangle bleu.Intégrale
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b], on appelle intégrale de f de a à b l'aire délimité par les droites x=a, x=b, l'axe des abscisses, et la représentation graphique de la fonction f.Cette aire est notée :
∫abf(x)dx
Elle se mesure en u.a.
Remarque
Le x qui apparaît dans la notation intégrale est une variable muette, appelé variable d'intégration. On utilise en général x mais tout autre lettre convient également et le t est très souvent utilisé comme nous le verrons par la suite.Propriété : Encadrement par le méthode de Riemann
Soit f une fonction continue positive sur un intervalle [a ;b ]. On a alors :m×(b−a)⩽∫abf(x)dx⩽M×(b−a)
Où M est le maximum de la fonction sur l'intervalle et m son minimum.
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2. Primitive d'une fonction continue positive : Leibniz
Prorpriété
Soit f une fonction continue positive on note alors :F(x)=∫axf(t)dt
On a alors le résultat suivant :
F′(x)=f(x)
Remarque
Cette fonction F ainsi définie s'appelle une primitive de f, ce que nous travaillerons au paragraphe suivant.On remarque que F(a)=0.
Démonstration
On fait la démonstration dans le cas où f est positive et croissante.Il nous faut donc étudier le taux d'accroissement de la fonction F soit hF(x0+h)−F(x0), pour h∈R.
On suppose donc que ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 2: h&̲gt;0, on a alors F(x0+h)−F(x0) représente l'aire délimitée par les droites x=x0, x=x0+h, l'axe des abscisses, et la courbe représentative de la fonction f.
Comme la fonction f est croissante on en déduit que f(x0)≤f(x)≤f(x0+h) pour tout x∈[x0 ; x0+h].
Donc d'après la proposition précédente on en déduit que :
et donc
f(x0)≤hF(x0+h)−F(x0)≤f(x0+h)
Or comme f est continue on sait que h→0limf(x0+h)=f(x0) et donc on en déduit par le théorème des gendarmes que :
h×f(x0)≤F(x0+h)−F(x0)≤f(x0+h)×h
et donc
f(x0)≤hF(x0+h)−F(x0)≤f(x0+h)
Or comme f est continue on sait que h→0limf(x0+h)=f(x0) et donc on en déduit par le théorème des gendarmes que :
h→0limhF(x0+h)−F(x0)=f(x0)
Ce qui démontre que F′(x0)=f(x0).
Primitive d'une fonction continue
Définition
Soit f une fonction continue définie sur un intervalle I de R. On dit que F est une primitive de f si :F′(x)=f(x) pour tout x∈I
Théorème
Toute fonction continue admet des primitives.Démonstration
Admise.Théorème
Soit H et G deux fonctions primitives d'une même fonction f, définie sur I un intervalle de R. Alors il existe k∈R et G(x)=H(x)+k pour tout x∈IRemarque
On dit qu'une primitive est définie à une constante près.Démonstration
Comme (G−H)′(x)=G′(x)−H′(x)=f(x)−f(x)=0. On en déduit donc que G−H est une fonction constante et donc il existe k et G(x)=H(x)+k, pour tout x∈IPrimitive de fonctions usuelles
Primitive et dérivée de fonctions usuelles
| F(x) | f(x) | f′(x) |
|---|---|---|
| kx | k | 0 |
| 2x2 | x | 1 |
| 3x3 | x2 | 2x |
| ln(x) | x1 | x2−1 |
| ex | ex | ex |
| sinx | cosx | −sinx |
| −cosx | sinx | cosx |
Démonstration
Démonstration évidente en dérivant les primitives. Attention tout de même aux ensembles de définition des fonctions.6 p. 177
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Propriété des Primitives
Linéarité
Soit f, g deux fonctions continues et k un réel. Soit F et G des primitives de f et g respectivement.- Une primitive de la fonction f+g est la fonction F+G.
- Une primitive de la fonction k×f est la fonction k×F.
Auncune difficulté cela vient des propriétés de la dérivation.
On remarque donc que la " primitivation " passe très bien à l'addition et à la multiplication par un nombre. Exactement comme la dérivation. En revanche elle passe très mal à la multiplication et à la division à tel point qu'il n'existe pas de formule qui permette de primitiver un produit ou un quotient. Il faut le faire à la main. La prochaine section sera consacré à certaines de ces formes.
Propriété
- Une primitive de la fonction xn, définie sur R, pour n∈N est la fonction n+11xn+1.
- Une primitive de la fonction xn, définie sur R+∗, pour n∈Z , n=−1 est la fonction n+11xn+1.
- Une primitive de la fonction xn, définie sur R+∗, pour n∈Q , n=−1 est la fonction n+11xn+1.
Démonstration
Le premier point est évident. Les points suivants sont hors programme.Remarques
Remarquez que les deux derniers points bien qu'ils soient hors programme nous donnent des primitives des fonctions x et x21.Complements sur les primitives
Soit u une fonction continue et v une fonction continue strictement positive.
- Une primitive de la fonction u′(x)×eu(x) est la fonction eu(x).
- Une primitive de la fonction v(x)v′(x) est la fonction ln(v(x)).
- Une primitive de la fonction (u(x))n×u′(x) est la fonction n+11×(u(x))n+1.
Démonstration
Découle directement des cours sur le logarithme et l'exponentielle. Et celui sur la dérivation.Intégrale d'une fonction continue
Lemme
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux nombres de cet intervalle. On a alors :F(b)−F(a)=G(a)−G(b)
Démonstration
Démonstration évidente puisque comme F et G sont deux primitives d'une même fonction elle sont égale à constante près. Soit G(x)=F(x)+k avec k∈R. Ainsi :G(b)−G(a)=F(b)+k−(F(a)+k)=F(b)−F(a)
Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a∈I et b∈I deux réels.Soit F une primitive de f.
On définit alors l'intégrale de a à b de f par F(b)−F(a) ce qui se note :
∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)
Remarque
Cette définition précise donc un symbole ∫ab, et elle est cohérente avec la définition donnée de ce symbole pour les fonctions continues positives puisque on a vu que F(x)=∫ax est une primitive de f et que F(a)=0.Le lemme assure la cohérence de cette définition puisqu'il montre que le résultat ne dépend pas du choix de la primitive.
Graphiquement cela correspond à :
L'intégrale d'une fonction continue sera donc une somme (au sens mathématiques) d'aire, les aires définies au-dessus de l'axe des abscisses étant comptées positivement celle en-dessous de l'axe des abscisses seront comptés négativement.
L'intégrale d'une fonction continue sera donc une somme (au sens mathématiques) d'aire, les aires définies au-dessus de l'axe des abscisses étant comptées positivement celle en-dessous de l'axe des abscisses seront comptés négativement.
Propriété
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a∈I, b∈I et c∈I, on a alors :- ∫aaf(x)dx=0
- ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx
- Relation de Chasles :
∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx=∫acf(x)dx
Démonstration
On utilise la définition :- ∫aaf(x)dx=F(a)−F(a)=0
- ∫baf(x)dx=F(a)−F(b)=−(F(b)−F(a))=−∫abf(x)dx
- ∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx=F(b)−F(a)+F(c)−F(b)=F(c)−F(a)=∫acf(x)dx
Linéarité de l'Intégrale
Propriété : Linéarité
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a∈I, b∈I, soit également k∈R on a alors :- ∫abf(x)+g(x)dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx
- ∫abk×f(x)dx=k∫abf(x)dx
Démonstration
Cette proppriété découle directement de la linéarité des primitives et donc des dérivées.Remarque
On remarque donc que la notion d'intégrale passe très bien à l'addition (et à la multiplication par un scalaire) mais et j'insiste la dessus l'intégrale ne passe pas du tout à la multiplication ( et évidemment à la division).
Inégalité
Inégalité
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a∈I, b∈I, ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 3: a &̲lt; b.- Si f(x)≥0 alors ∫abf(x)≥0
- Si f(x)≥g(x) alors ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx
Démonstration
- Le premier point est évident puisque l'intégrale d'une fonction positive est une aire.
- Si f(x)≥g(x) alors f(x)−g(x)≥0 et donc l'intégrale est positive, ainsi :
∫abf(x)−g(x)dx≥0 ce qui nous donne ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx
Remarque
On remarque donc que la notion d'intégrale passe très bien à l'addition (et à la multiplication par un scalaire) mais et j'insiste la dessus l'intégrale ne passe pas du tout à la multiplication ( et évidemment à la division).Formule de la Moyenne
Valeur moyenne d'une fonction
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b], on appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] le nombrem=b−a1∫abf(x)dx
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Les boucles ...
Chapitre 7
Intégrale et primitive