{ \large \color{orange} Rappel : Cosinus, sinus et tangente dans le triangle rectangle }

\href{https://www.youtube.com/watch?v=md7hgVVKVI0}{\color{orange}\favideo Les formules trigonométriques dans le triangles}{\color{orange} \hfill \qrcode[height=1.2cm]{https://www.youtube.com/watch?v=md7hgVVKVI0}} \begin{minipage}{8cm}

$\cos(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypothénuse}}$
$\sin(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypothénuse}}$
$\tan(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

\end{minipage} \begin{minipage}{6cm} \includegraphics[width=6cm]{ch9-cours3b.png} \end{minipage}
\vspace{5mm} { \large \color{orange} Cosinus, sinus dans le cercle trigonométrique }
\vspace{3mm} \begin{minipage}{0.6\textwidth} Dans le plan muni d’un repère orthonormé

(O ; \vec{i},\vec{j})

et orienté dans le sens direct, on considère un cercle trigonométrique de centre O.
Pour tout nombre réel

x

, considérons le point N de la droite orientée d’abscisse

x

. À ce point, on fait correspondre un point

M

sur le cercle trigonométrique.
On appelle

H

K

les pieds respectifs des perpendiculaires à l’axe des abscisses et à l’axe des ordonnées passant par

M

. \end{minipage} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \includegraphics[width=5cm]{ch9-cours3a.png} \end{minipage}
\vspace{3mm} \begin{defin} \textcolor{white}{.}
\vspace{-1.5cm}
\hfill{\color{orange

Cosinus \& sinus} } 


	  Le cosinus du nombre réel  $x$  est l’abscisse de  $M$  et on note  $\cos x$ .
	
  Le sinus du nombre réel  $x$  est l’ordonnée de  $M$  et on note  $\sin x$ .

\end{defin}




 


\begin{props}
\textcolor{white}{.} 
 \vspace{-1.5cm} 
 
\hfill{\color{orange

Propriétés} } 

\begin{multicols}2
	
	  $-1 \leq \sin x \leq 1$  et   $-1 \leq \cos x \leq 1$ 
	
  $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ 
	
  $\sin(-x) = - \sin x$  et  $\cos(-x) = \cos x$ 
	
  $\cos(x) = \cos(x + 2k\pi)$  où  $k$  entier relatif
	
  $\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)$   où  $k$  entier relatif
	
\end{multicols}
	
 


\end{props}


\begin{rem}
  $( \sin x )^2$  se note  $\sin ^2 x$ .
et   $(\cos x)^2$  se note  $\cos ^2 x$ .
  \end{rem}
 
% \newgeometry{top=1.5cm,left=2cm,right=2cm,bottom=1.5cm}

\begin{demo}
	
	  Le cercle trigonométrique est de rayon 1 donc  $-1 \leq \sin x \leq 1$  et   $-1 \leq \cos x \leq 1$ 
	
  Dans le triangle OHM rectangle en H, le théorème de Pythagore permet d’établir que   $cos^2 x + sin^2 x = OM^2 = 1$ .
	
  Les angles de mesures  $x$  et  $-x$  sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses donc :

 
  $sin(-x) = - sin x$  et  $cos(-x) = cos x$ .
		
 Aux points de la droite orientée d'abscisses  $x$ 
et  $x + 2k\pi$  ont fait correspondre le même point du
cercle trigonométrique.
	
\end{demo}


 \vspace{5mm}



{ \Large \color{orange} Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus }

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}2
\begin{tabular}{|c|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
\hline
 $x$  &  $0$  &  $\dfrac{\pi}{6}$  &  $\dfrac{\pi}{4}$  &  $\dfrac{\pi}{3}$  &  $\dfrac{\pi}{2}$  &  $\pi$   \\ \hline
 $\cos(x)$  &  $1$  &  $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$  &  $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$  &  $\dfrac{1}{2}$   &  $0$  &  $-1$   \\ \hline
 $\sin(x)$  &  $0$  &  $\dfrac{1}{2}$  &  $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$  &  $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$  & 1 & 0 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


{ \color{orange} \huge \fapencil { \large A faire : }  \hrulefill } 
 
 \begin{minipage}{15cm} 
 	\begin{minipage}{8cm}
  Démontrer que  $\sin(\dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 
  
 
  

 

  \textit{Aides :} 
  	 \textit{Convertir  $\dfrac{\pi}{4}$  en degré.}
  	
 \textit{Quelle est la nature du triangle OMH}
  	
 \textit{Que peut-on en déduire pour les longueurs OH et HM}
 
\end{minipage}
 	\begin{minipage}{6.5cm}
\includegraphics[width=6cm]{ch9-cours3.png}
	\end{minipage}
\end{minipage}
\begin{minipage}{2cm}
\cor{https://youtu.be/-fu9bSBKM00}
\end{minipage}


\begin{prop}
Pour tout nombre réel  $x$ , on a :
\begin{multicols}2

	  $\cos(\pi + x) = - \cos x$  
 et  $\sin(\pi + x) = - \sin x$ 

   $\cos(\pi - x) = - \cos x$ 
 et  $\sin(\pi - x) = \sin x$ 

  $\cos( \dfrac{\pi}{2} + x) = - \sin x$ 
 et  $\sin( \dfrac{\pi}{2} + x) = \cos x$ 

  $\cos( \dfrac{\pi}{2} - x) = \sin x$ 
 et  $\sin( \dfrac{\pi}{2} - x)= \cos x$ 

\end{multicols}

 


\end{prop}

 \vspace{3mm}
 
{ \color{orange} \huge \fapencil { \large \favideo }  \hrulefill } 
 
 \href{https://www.youtube.com/watch?v=ECNX9hnhG9U}{\color{orange}\favideo Lire les valeurs de cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique }{\color{orange}  \hfill \qrcode[height=1.2cm]{https://www.youtube.com/watch?v=ECNX9hnhG9U}} 


 \vspace{3mm}