{ \large \color{orange} Rappel : Cosinus, sinus et tangente dans le triangle rectangle }
\href{https://www.youtube.com/watch?v=md7hgVVKVI0}{\color{orange}\favideo Les formules trigonométriques dans le triangles}{\color{orange} \hfill \qrcode[height=1.2cm]{https://www.youtube.com/watch?v=md7hgVVKVI0}}
\begin{minipage}{8cm}
- \cos(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypothénuse}}
- \sin(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypothénuse}}
- \tan(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=6cm]{ch9-cours3b.png}
\end{minipage}
\vspace{5mm}
{ \large \color{orange} Cosinus, sinus dans le cercle trigonométrique }
\vspace{3mm}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
Dans le plan muni d’un repère orthonormé
(O ; \vec{i},\vec{j}) et orienté dans le sens direct, on
considère un cercle trigonométrique de
centre O.
Pour tout nombre réel x, considérons le point
N de la droite orientée d’abscisse x.
À ce point, on fait correspondre un point M
sur le cercle trigonométrique.
On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires à l’axe des abscisses et
à l’axe des ordonnées passant par M.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\includegraphics[width=5cm]{ch9-cours3a.png}
\end{minipage}
\vspace{3mm}
\begin{defin}
\textcolor{white}{.}
\vspace{-1.5cm}
\hfill{\color{orange Cosinus \& sinus} }
- Le cosinus du nombre réel x est l’abscisse de M et on note \cos x.
- Le sinus du nombre réel x est l’ordonnée de M et on note \sin x.
\end{defin}
\begin{props}
\textcolor{white}{.}
\vspace{-1.5cm}
\hfill{\color{orange
Propriétés} }
\begin{multicols}2
- -1 \leq \sin x \leq 1 et -1 \leq \cos x \leq 1
- \cos^2 x + \sin^2 x = 1
- \sin(-x) = - \sin x et \cos(-x) = \cos x
- \cos(x) = \cos(x + 2k\pi) où k entier relatif
- \sin(x) = \sin(x + 2k\pi) où k entier relatif
\end{multicols}
\end{props}
\begin{rem}
( \sin x )^2 se note \sin ^2 x.
et (\cos x)^2 se note \cos ^2 x.
\end{rem}
% \newgeometry{top=1.5cm,left=2cm,right=2cm,bottom=1.5cm}
\begin{demo}
- Le cercle trigonométrique est de rayon 1 donc -1 \leq \sin x \leq 1 et -1 \leq \cos x \leq 1
- Dans le triangle OHM rectangle en H, le théorème de Pythagore permet d’établir que cos^2 x + sin^2 x = OM^2 = 1.
- Les angles de mesures x et -x sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses donc :
sin(-x) = - sin x et cos(-x) = cos x.
- Aux points de la droite orientée d'abscisses x
et x + 2k\pi ont fait correspondre le même point du
cercle trigonométrique.
\end{demo}
\vspace{5mm}
{ \Large \color{orange} Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus }
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}2
\begin{tabular}{|c|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
\hline
x & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} & \pi \\ \hline
\cos(x) & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 & -1 \\ \hline
\sin(x) & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 & 0 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
{ \color{orange} \huge \fapencil { \large A faire : } \hrulefill }
\begin{minipage}{15cm}
\begin{minipage}{8cm}
Démontrer que \sin(\dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\textit{Aides :}
- \textit{Convertir \dfrac{\pi}{4} en degré.}
- \textit{Quelle est la nature du triangle OMH}
- \textit{Que peut-on en déduire pour les longueurs OH et HM}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6.5cm}
\includegraphics[width=6cm]{ch9-cours3.png}
\end{minipage}
\end{minipage}
\begin{minipage}{2cm}
\cor{https://youtu.be/-fu9bSBKM00}
\end{minipage}
\begin{prop}
Pour tout nombre réel x, on a :
\begin{multicols}2
- \cos(\pi + x) = - \cos x
et \sin(\pi + x) = - \sin x
- \cos(\pi - x) = - \cos x
et \sin(\pi - x) = \sin x
- \cos( \dfrac{\pi}{2} + x) = - \sin x
et \sin( \dfrac{\pi}{2} + x) = \cos x
- \cos( \dfrac{\pi}{2} - x) = \sin x
et \sin( \dfrac{\pi}{2} - x)= \cos x
\end{multicols}
\end{prop}
\vspace{3mm}
{ \color{orange} \huge \fapencil { \large \favideo } \hrulefill }
\href{https://www.youtube.com/watch?v=ECNX9hnhG9U}{\color{orange}\favideo Lire les valeurs de cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique }{\color{orange} \hfill \qrcode[height=1.2cm]{https://www.youtube.com/watch?v=ECNX9hnhG9U}}
\vspace{3mm}