eXoMorphisme

Chapitre 7

Intégrale et primitive

I. Intégrale d'une fonction positive

L'idée de départ de ce cours est de calculer l'aire comprise entre deux droites verticales, la représentation graphique d'une fonction positive et l'axe des abscisse.
C'est un problème déjà ancien et facile à résoudre si la fonction est une droite.

Unité d'aire

Dans un repère

\left(O,I,J\right)

, on définit une unité d'aire par l'aire du rectangle délimité par les points de coordonnées

(0~;~0)

(0~;~1)

(1~;~1)

(1~;~0)

Exemple

Sur la figure ci-dessous le rectangle

EFHG

mesure

12u.a.

. L'unité d'aire étant représenté par le rectangle bleu.

Intégrale

Soit

f

une fonction continue et positive sur un intervalle

[a~;~b]

, on appelle intégrale de $f$ de $a$ à $b$ l'aire délimité par les droites

x=a

x=b

, l'axe des abscisses, et la représentation graphique de la fonction

f

.
Cette aire est notée :

\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x

Elle se mesure en

u.a.

Remarque

x

qui apparait dans la notation intégrale est une variable muette, appelé varaible d'intégration. On utilise en général

x

mais tout autre lettre convient également et le

t

est très souvent utilisé comme nous le verrons par la suite.

Propriété : Encadrement par le méthode de Reimann

Soit

f

une fonction continue positive sur un intervalle

[a~;b~]

. On a alors :

m\times (b-a)\leqslant \int_{a}^{b}f(x)\text{d}x\leqslant M \times (b-a)

Où

M

est le maximum de la fonction sur l'intervalle et

m

son minimum.

38 p. 179

42 p. 179

2. Primitive d'une fonction continue positive : Leibniz

Prorpriété

Soit

f

une fonction continue positive on note alors :

F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \text{d}t

On a alors le résultat suivant :

F'(x)=f(x)

Remarque

Cette fonction

F

ainsi définie s'appelle une primitive de

f

, ce que nous travaillerons au paragraphe suivant.

On remarque que

F(a)=0

Démonstration

On fait la démonstration dans le cas où

f

est positive et croissante.

Il nous faut donc étudier le taux d'accroissement de la fonction

F

soit

\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}

, pour

h\in\mathbb{R}

.
On suppose donc que

h>0

, on a alors

F(x_0+h)-F(x_0)

représente l'aire délimitée par les droites

x=x_0

x=x_0+h

, l'axe des abscisses, et la courbe représentative de la fonction

f

.
Comme la fonction

f

est croissante on en déduit que

f(x_0)\leq f(x) \leq f(x_0+h)

pour tout

x\in [x_0~;~x_0+h]

Donc d'après la proposition précédente on en déduit que :

h\times f(x_0) \leq F(x_0+h)-F(x_0) \leq f(x_0+h)\times h

et donc

f(x_0) \leq \dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \leq f(x_0+h)

Or comme

f

est continue on sait que

\lim \limits_{h\rightarrow0}f(x_0+h)=f(x_0)

et donc on en déduit par le théorème des gendarmes que :

\lim \limits_{h\rightarrow0}\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)

Ce qui démontre que

F'(x_0)=f(x_0)

Primitive d'une fonction continue

Définition

Soit

f

une fonction continue définie sur un intervalle

I

\mathbb{R}

. On dit que

F

est une primitive de

f

si :

F'(x)=f(x)

pour tout

x\in I

Théorème

Toute fonction continue admet des primitives.

Démonstration

Admise.

Théorème

Soit

H

G

deux fonctions primitives d'une même fonction

f

, définie sur

I

un intervalle de

\mathbb{R}

. Alors il existe

k\in\mathbb{R}

G(x)=H(x)+k

pour tout

x\in I

Remarque

On dit qu'une primitive est définie à une constante près.

Démonstration

Comme

\left(G-H\right)'(x)=G'(x)-H'(x)=f(x)-f(x)=0

. On en déduit donc que

G-H

est une fonction constante et donc il existe

k

G(x)=H(x)+k

, pour tout

x\in I

Primitive de fonctions usuelles

Primitive et dérivée de fonctions usuelles

$\quad F(x)\quad$	$\quad f(x)\quad$	$\quad f'(x)\quad$
$kx$	$k$	$0$
$\dfrac{x^2}{2}$	$x$	$1$
$\dfrac{x^3}{3}$	$x^2$	$2x$
$\ln (x)$	$\dfrac{1}{x}$	$\dfrac{-1}{x^2}$
$\text{e}^x$	$\text{e}^x$	$\text{e}^x$
$\sin x$	$\cos x$	$-\sin x$
$-\cos x$	$\sin x$	$\cos x$

Démonstration

Démonstration évidente en dérivant les primitives. Attention tout de même aux ensembles de définition des fonctions.

6 p. 177

7 p. 177

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Propriété des Primitives

Linéarité

Soit

f

g

deux fonctions continues et

k

un réel. Soit

F

G

des primitives de

f

g

respectivement.

Une primitive de la fonction $f+g$ est la fonction $F+G$ .
Une primitive de la fonction $k\times f$ est la fonction $k\times F$ .

Auncune difficulté cela vient des propriétés de la dérivation.

On remarque donc que la " primitivation " passe très bien à l'addition et à la multiplication par un nombre. Exactement comme la dérivation. En revanche elle passe très mal à la multiplication et à la division à tel point qu'il n'existe pas de formule qui permette de primitiver un produit ou un quotient. Il faut le faire à la main. La prochaine section sera consacré à certaines de ces formes.

Propriété

Une primitive de la fonction $x^{n}$ , définie sur $\mathbb{R}$ , pour $n\in\mathbb{N}$ est la fonction $\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ .
Une primitive de la fonction $x^{n}$ , définie sur $\mathbb{R}_+^*$ , pour $n\in\mathbb{Z}~,~n\neq -1$ est la fonction $\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ .
Une primitive de la fonction $x^{n}$ , définie sur $\mathbb{R}_+^*$ , pour $n\in\mathbb{Q}~,~n\neq -1$ est la fonction $\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ .

Démonstration

Le premier point est évident. Les points suivants sont hors programme.

Remarques

Remarquez que les deux derniers points bien qu'ils soient hors programme nous donnent des primitives des fonctions

\sqrt{x}

\dfrac{1}{x^2}

Complements sur les primitives

Soit

u

une fonction continue et

v

une fonction continue strictement positive.

Une primitive de la fonction $u'(x)\times \text{e}^{u(x)}$ est la fonction $\text{e}^{u(x)}$ .
Une primitive de la fonction $\dfrac{v'(x)}{v(x)}$ est la fonction $\ln\left(v(x)\right)$ .
Une primitive de la fonction $\left(u(x)\right)^n\times u'(x)$ est la fonction $\dfrac{1}{n+1}\times \left(u(x)\right)^{n+1}$ .

Démonstration

Découle directement des cours sur le logarithme et l'exponentielle. Et celui sur la dérivation.

Intégrale d'une fonction continue

Lemme

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

I

a

b

deux nombres de cet intervalle. On a alors :

F(b)-F(a)=G(a)-G(b)

Démonstration

Démonstration évidente puisque comme

F

G

sont deux primitives d'une même fonction elle sont égale à constante près. Soit

G(x)=F(x)+k

avec

k\in\mathbb{R}

. Ainsi :

G(b)-G(a)=F(b)+k-(F(a)+k)=F(b)-F(a)

Définition

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

I

a\in I

b\in I

deux réels.
Soit

F

une primitive de

f

.
On définit alors l'intégrale de

a

b

f

par

F(b)-F(a)

ce qui se note :

\int_{a}^b f(x)\text{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)

Remarque

Cette définition précise donc un symbole

\int_{a}^b

, et elle est cohérente avec la définition donnée de ce symbole pour les fonctions continues positives puisque on a vu que

F(x)=\int_{a}^x

est une primitive de

f

et que

F(a)=0

.
Le lemme assure la cohérence de cette définition puisqu'il montre que le résultat ne dépend pas du choix de la primitive.

Graphiquement cela correspond à :
L'intégrale d'une fonction continue sera donc une somme (au sens mathématiques) d'aire, les aires définies au-dessus de l'axe des abscisses étant comptées positivement celle en-dessous de l'axe des abscisses seront comptés négativement.

Propriété

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

I

a\in I

b\in I

c\in I

, on a alors :

$\int_{a}^a f(x)\text{d}x=0$
$\int_{b}^a f(x)\text{d}x=-\int_{a}^b f(x)\text{d}x$
Relation de Chasles :
$\int_{a}^b f(x)\text{d}x+\int_{b}^c f(x)\text{d}x=\int_{a}^c f(x)\text{d}x$

Démonstration

On utilise la définition :

$\int_{a}^a f(x)\text{d}x=F(a)-F(a)=0$

$\int_{b}^a f(x)\text{d}x=F(a)-F(b)=-\left(F(b)-F(a)\right)=-\int_{a}^b f(x)\text{d}x$

$\int_{a}^b f(x)\text{d}x+\int_{b}^c f(x)\text{d}x$ $=F(b)-F(a)+F(c)-F(b)=F(c)-F(a)=\int_{a}^c f(x)\text{d}x$

Linéarité de l'Intégrale

Propriété : Linéarité

Soit

f

g

deux fonctions continues sur un intervalle

I

a\in I

b\in I

, soit également

k\in\mathbb{R}

on a alors :

$\int_{a}^b f(x) + g(x) \text{d}x=\int_{a}^b f(x)\text{d}x+\int_{a}^b g(x)\text{d}x$
$\int_{a}^b k\times f(x)\text{d}x=k\int_{a}^b f(x)\text{d}x$

Démonstration

Cette proppriété découle directement de la linéarité des primitives et donc des dérivées.

Remarque

On remarque donc que la notion d'intégrale passe très bien à l'addition (et à la multiplication par un scalaire) mais et j'insiste la dessus l'intégrale ne passe pas du tout à la multiplication ( et évidemment à la division).

Inégalité

Soit

f

g

deux fonctions continues sur un intervalle

I

a\in I

b\in I

a < b

Si $f(x)\geq 0$ alors $\int_{a}^b f(x)\geq 0$
Si $f(x) \geq g(x)$ alors $\int_{a}^b f(x)\text{d}x\geq \int_{a}^b g(x)\text{d}x$

Démonstration

Le premier point est évident puisque l'intégrale d'une fonction positive est une aire.
Si $f(x) \geq g(x)$ alors $f(x)-g(x)\geq 0$ et donc l'intégrale est positive, ainsi :
$\int_{a}^b f(x)-g(x) \text{d}x\geq 0$ ce qui nous donne $\int_{a}^b f(x)\text{d}x\geq \int_{a}^b g(x)\text{d}x$

Remarque

Formule de la Moyenne

Valeur moyenne d'une fonction

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

[a~;~b]

, on appelle valeur moyenne de la fonction

f

sur

[a~;~b]

le nombre

m=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^b f(x) \text{d}x

Chapitre 7

Intégrale et primitive

I. Intégrale d'une fonction positive

Unité d'aire

Exemple

Intégrale

Remarque

Propriété : Encadrement par le méthode de Reimann

38 p. 179

42 p. 179

2. Primitive d'une fonction continue positive : Leibniz

Prorpriété

Remarque

Démonstration

Primitive d'une fonction continue

Définition

Théorème

Démonstration

Théorème

Remarque

Démonstration

Primitive de fonctions usuelles

Primitive et dérivée de fonctions usuelles

Démonstration

6 p. 177

7 p. 177

38 p.179

Propriété des Primitives

Linéarité

Propriété

Démonstration

Remarques

Complements sur les primitives

Démonstration

Intégrale d'une fonction continue

Lemme

Démonstration

Définition

Remarque

Propriété

Démonstration

Linéarité de l'Intégrale

Propriété : Linéarité

Démonstration

Remarque

Inégalité

Inégalité

Démonstration

Remarque

Formule de la Moyenne

Valeur moyenne d'une fonction

116 p.185

Les boucles ...