Logarithme Népérien
Chapitre 6

Fonctions réciproques

Soit f et g deux fonctions telles que :

\begin{array}{ccccc} f & : & I & \to & J \\ & & x & \mapsto & f(x) \end{array}\qquad et \qquad \begin{array}{ccccc} g & : & J & \to & I \\ & & x & \mapsto & g(x) \end{array}
où I et J sont deux intervalles dans \mathbb{R}.
Si alors pour tout x\in I et pour tout y \in J on a :
g(f(x))=x\qquad \text{et}\qquad f(g(y))=y
On dit alors que f et g sont fonctions réciproques l'une de l'autre.

Remarque

Bien comprendre l'idée qu'en appliquant ces deux fonctions l'une après l'autre on " revient à la case départ ".
Il y a bien sûr quelques exemples très évidents :
  • Le premier est le plus simple est évidemment la fonction identité :
    \begin{array}{ccccc} Id & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & x \\ \end{array}

    Cette fonction est réciproque d'elle même.

  • Un autre exemple dans la même idée est la fonction inverse :
    \begin{array}{ccccc} Inv & : & \mathbb{R}_+^* & \to & \mathbb{R}_+^* \\ & & x & \mapsto & \dfrac{1}{x}
    \end{array}
    Cette fonction est réciproque d'elle même sur \mathbb{R}_+^*, en effet \dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}=x.
    En appliquant deux fois la fonction inverse " l'une dans l'autre " on revient à la case départ.
  • Célèbre également sont les fonctions carrée et racine.
    \begin{array}{ccccc} Car & : & \mathbb{R}_+ & \to & \mathbb{R}_+ \\ & & x & \mapsto & x^2
    \end{array}     et \begin{array}{ccccc} Rac & : & \mathbb{R}_+ & \to & \mathbb{R}_+ \\ & & x & \mapsto & \sqrt{x}
    \end{array}

    On a bien pour tout x\in\mathbb{R}_+ \sqrt{x^2}=x et \left(\sqrt{x}\right)^2=x, ainsi ces deux fonctions sont bien réciproques l'une de l'autre.
  • On peut également essayer de trouver des fonctions réciproques aux fonctions affines.
    Par exemple qu'elle est la fonction réciproque de la fonction :
    \begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R}
    & & x & \mapsto & 2x-3
    \end{array}
  • Mais il est à noter que certaines fonctions n'ont pas de fonction réciproque. Par exemple la fonction carré sur \mathbb{R}

Fonction Logarithme Népérien

Pour tout x\in\mathbb{R}^+_* il existe un unique y\in\mathbb{R} tel que :
\text{e}^y = x
C'est une conséquence évidente du tableau de variation de la fonction exponentielle et du théorème de valeurs intermédiaires.

Logarithme Népérien de x


Soit alors x\in\mathbb{R}^{+*}, un réel strictement positif.
On appelle logarithme népérien de x l'unique réel y tel que \text{e}^y=x.
Il est noté y=\ln x

Remarque

  • Le lemme précédent légitime la définition.

Logarithme Népérien

La définition précédente nous permet donc de définir une fonction appelée logarithme népérien de x :
\begin{array}{ccccc} \ln & : & \mathbb{R}^{+*} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & \ln x \end{array}
Cette fonction est donc la fonction réciproque de l'exponentielle.
Cette définition amène plusieurs remarques :
  • La fonction exponentielle est strictement positive donc la fonction logarithme est définie sur \mathbb{R}^*_+

  • Pour tout x>0 on a :
    \ln(x)=y\Leftrightarrow x=\exp(y)
  • \ln(1)=0
  • \ln(\text{e})=1
  • \ln\left(\text{e}^2\right)=2
  • \ln\left(\frac{1}{\text{e}}\right)=-1
  • \ln\left(\text{e}^{5,4}\right)=5,4
  • \ln\left(\text{e}^{-3}\right)=-3
  • \ln\left(100000\right)\approx 11,5 A la calculatrice
  • \ln(0,0000001)\approx -16,1 A la calculatrice
  • \ln\left(0\right) n'existe pas
  • \ln\left(-2\right) n'existe pas également.
  • Pour tout nombre x strictement positif \exp(\ln(x))=x

Conjecture

Ces quelques valeurs nous permettent de conjecturer différents points sur le logarithme népérien.
  • C'est une fonction croissante.
  • Sa limite en +\infty semble être +\infty.
  • Sa limite en 0 semble être -\infty.
  • Bien qu'elle soit croissante elle semble être " très lente ".

5 p. 146

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[\red\heartsuit\red\heartsuit\red\heartsuit]

Propriétés Algébriques

Soit x et y deux réels strictement positifs :
  • \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)
  • \ln\Big(\dfrac{1}{x}\Big)=-\ln(x)
  • \ln\Big(\dfrac{y}{x}\Big)=\ln(y)-\ln(x)
  • \ln\Big(\sqrt{x}\Big)=\dfrac{1}{2}\ln(x)
  • Pour tout n\in\mathbb{N} \ln\Big(x^n\Big)=n\ln(x)
  • On a :
    \exp\big(\ln(x\times y)\big)=x\times y=\exp\big(\ln(x)\big)\times \exp\big(\ln(y)\big)
    \phantom{\exp\big(\ln(x\times y)\big)}=\exp\big(\ln(x)+\ln(y)\big)
    Comme exp est strictement croissante, on en déduit que :
    \ln(x\times y)=\ln(x)+\ln(y)

  • 0=\ln(1)=\ln\Big(x\times\dfrac{1}{x}\Big)=\ln\big(x\big)+\ln\Big(\dfrac{1}{x}\Big),
    on en déduit que :
    \ln(x)=-\ln\Big(\dfrac{1}{x}\Big)
  • \ln\Big(\dfrac{y}{x}\Big)=\ln\Big(y\times\dfrac{1}{x}\Big)=... .
  • \ln(x)=\ln\Big(\sqrt{x}\times\sqrt{x}\Big)=\ln\Big(\sqrt{x}\Big)+\ln\Big(\sqrt{x}\Big)=2\times\ln\Big(\sqrt{x}\Big)
    et donc
    \ln\Big(\sqrt{x}\Big)=\dfrac{1}{2}\ln(x)

  • Le dernier point se démontre par récurrence bien sûr...

Exemples

  • \ln(6)=\ln(3\times2)=\ln(3)+\ln(2)
  • \ln(1,25)=\ln\left(\dfrac{5}{4}\right)=\ln(5)-\ln(4)
  • \ln(32)-3\ln(2)=\ln(2^5)-3\ln(2)=5\ln(2)-3\ln(2)=2\ln(2)

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Équation et Inéquation

Soit x et y deux nombres strictement positif on a les relations suivantes :
\ln x=\ln y \iff x=y \qquad \qquad \ln x > \ln y \iff x>y
On rappelle que le symbole \iff signifie qu'il y a deux sens à démontrer. (sens direct et réciproque comme vous disiez au collège).

Commençons donc par démontrer : ln x=\ln y \iff x=y.
Le sens \Longleftarrow est évident.
Supposons donc que \ln x=\ln y.
On a alors \text{e}^{\ln x}=\text{e}^{\ln y} et donc x=y.


Démontrons alors : ln x>\ln y \iff x>y. Le sens \implies est évident. A nouveau il suffit de prendre l'exponentielle des deux côtés de l'inéquation et comme l'exponentielle est croissante on en déduit le résultat. Supposons donc que x > y.

On sait alors que x=\text{e}^{\ln x} > \text{e}^{\ln y}=y et donc par la propriété vu pour l'exponentielle on en déduit que \ln x > \ln y.
Remarquez que l'on vient de démontrer que la fonction logarithme népérien est croissante. Et que cette croissance découle directement de la croissance de la fonction exponentielle.

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39 p. 147

42 p. 147

43 p. 147

76 p. 149

Étude de la fonction Logarithme Népérien

Continuité

La fonction logarithme népérien est continue sur \mathbb{R}^*_+

Démonstration

Admise

Dérivée

La fonction logarithme népérien est dérivable sur \mathbb{R}^*_+ et on a :
\Big(\ln(x)\Big)'=\dfrac{1}{x}

Démonstration

Étudions donc la limite du taux d'accroissement du logarithme.
Soit x et y deux nombres strictement positif, on doit donc étudier la limite quand y tend vers x du rapport :
\dfrac{\ln(x)-\ln(y)}{x-y}
On pose alors, X=\ln x et Y=\ln y, on obtient donc :
\dfrac{\ln(x)-\ln(y)}{x-y}=\dfrac{X-Y}{\text{e}^X-\text{e}^Y}=\dfrac{1}{\dfrac{\text{e}^X-\text{e}^Y}{X-Y}}

Démonstration - Suite

Cependant comme la fonction \ln est continue on en déduit que quand y tend vers x alors \ln y tend vers \ln x et donc que Y tend vers X.
Or on sait que \lim \limits_{Y\to X}\dfrac{\text{e}^X-\text{e}^Y}{X-Y}=\text{e}^X, c'est le taux d'accroissement de l'exponentielle.
Finalement on obtient :
\lim \limits_{y\to x}\dfrac{\ln(x)-\ln(y)}{x-y}=\lim \limits_{Y\to X}\dfrac{1}{\dfrac{\text{e}^X-\text{e}^Y}{X-Y}}=\dfrac{1}{\text{e}^X}=\dfrac{1}{x}
Et donc :
\Big(\ln(x)\Big)'=\dfrac{1}{x}

Variations

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \mathbb{R}^*_+.

Démonstration

Nous venons de voir que la dérivée de la fonction logarithme népérien est la fonction inverse qui est strictement positive on en déduit donc que :
le logarithme est strictement croissant sur \mathbb{R}^*_+.

Limites

On a :
\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x)=-\infty\quad et \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x)=+\infty
En +\infty
Soit A>0, on choisit x_0=\text{e}^A, on a alors comme \ln(x) est croissante (C.f. plus haut) on en déduit que pour tout x>x_0, \ln(x)>\ln(x_0)=\ln(\text{e}^A)=A.
Ainsi par définition \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x)=+\infty

en 0^+
On utilise \ln(x)=-\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) pour en déduire que \lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x)=-\infty

Tableau de variation


Signe du \ln

\ln est positif pour x\geq 1, négatif sinon.

Démonstration

On sait que \ln(1)=0, on en déduit, comme la fonction est strictement croissante, le résultat.

Représentation graphique

Et comme les fonctions \text{e}^x et \ln x sont réciproques, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite y = x


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59 p. 148

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Croissance Comparée et autre limite

Le \ln est la fonction la plus faible !


Deux limites à connaître :
  • \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0
  • \lim\limits_{x \to 0^+} x\ln(x)=0

Démonstration

  • On pose X=\ln(x) on a donc \dfrac{\ln(x)}{x}=\dfrac{X}{\text{e}^X}, ainsi comme quand x tend vers l'infini X tend également vers l'infini, on en déduit que \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} est égale à \lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{X}{\text{e}^X} qui est égale à 0, résultat que nous avons vu dans le chapitre sur l'exponentielle. (par croissance comparée de l'exponentielle).
  • On utilise la même idée : X=\ln(x), sauf que dans ce cas lorsque x tend vers 0^+ on sait que X tend vers -\infty.

Un taux d'accroissement

On a :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+1)}{x}=1
C'est une forme de limite dont nous commençons à avoir l'habitude. C'est le taux d'accroissement de la fonction \ln en x_0=1.

\ln(u(x))

Soit u une fonction définie sur un intervalle ouvert de \mathbb{R} telle que pour tout x de cet intervalle u(x)>0.
On a alors :
\Big(\ln\left(u(x)\right)\Big)'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}
Admise