Logarithme Népérien
Chapitre 6

Soit f et g deux fonctions telles que :\\ \begin{center} \begin{array}{ccccc} f & : & I & \to & J \\ & & x & \mapsto & f(x) \\ \end{array}\qquad et \qquad \begin{array}{ccccc} g & : & J & \to & I \\ & & x & \mapsto & g(x) \\ \end{array} \end{center} où I et J sont deux intervalles dans \rr.\\ Si alors pour tout x\in I et pour tout y \in J on a :
g(f(x))=x\qquad \text{et}\qquad f(g(y))=y
On dit alors que f et g sont fonctions réciproques l'une de l'autre.
Bien comprendre l'idée qu'en appliquant ces deux fonctions l'une après l'autre on " revient à la case départ ".
Il y a bien sûr quelques exemples très évidents :
  • Le premier est le plus simple est évidemment la fonction identité : \begin{center} \begin{array}{ccccc} Id & : & \rr & \to & \ \\ & & x & \mapsto & x \\ \end{array} \end{center} Cette fonction est réciproque d'elle même.
  • Un autre exemple dans la même idée est la fonction inverse : \begin{center} \begin{array}{ccccc} Inv & : & \rr_+^* & \to & \rr_+^* \\ & & x & \mapsto & \dfrac{1}{x} \\ \end{array} \end{center} Cette fonction est réciproque d'elle même sur \rr_+^*, en effet \dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}=x. En appliquant deux fois la fonction inverse " l'une dans l'autre \fg on revient à la case départ.
  • Célèbre également sont les \underline{fonctions carrée et racine}.\\ \begin{center} \begin{array}{ccccc} Car & : & \rr_+ & \to & \rr_+ \\ & & x & \mapsto & x^2 \\ \end{array}\qquad et \qquad\begin{array}{ccccc} Rac & : & \rr_+ & \to & \rr_+ \\ & & x & \mapsto & \sqrt{x} \\ \end{array} \end{center} On a bien pour tout x\in\rr_+ \sqrt{x^2}=x et \left(\sqrt{x}\right)^2=x, ainsi ces deux fonctions sont bien réciproques l'une de l'autre.
  • On peut également essayer de trouver des fonctions réciproques aux fonctions affines.\\ Par exemple qu'elle est la fonction réciproque de la fonction :
    \begin{array}{ccccc} f & : & \rr & \to & \rr \\ & & x & \mapsto & 2x-3 \\ \end{array}
  • Mais il est à noter que certaines fonctions n'ont pas de fonction réciproque. Par exemple la fonction carré sur \rr
\subsection{Logarithme Népérien} \begin{lem} Pour tout x\in\rr^+_* il existe un unique y\in\rr tel que :\\
\e^y = x
\end{lem}
C'est une conséquence évidente du tableau de variation de la fonction exponentielle et du théorème de valeurs intermédiaires.
\begin{defin}[\small \black Logarithme Népérien de x] Soit alors x\in\rr_+^*, un réel strictement positif.\\ On appelle logarithme népérien de x l'unique réel y tel que \e^y=x.\\ Il est noté y=\ln x
\begin{itemize}[label=\bullet]
  • Le lemme précédent légitime la définition.
  • Graphiquement cela donne la figure suivante : \begin{center} \definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \draw[->,color=black] (-4.3,0) -- (4.38,0); %\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} %\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize \x}; \draw[->,color=black] (0,-1.34) -- (0,6.3); %\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6} %\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize \y}; \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize 0}; \clip(-4.3,-1.34) rectangle (4.38,6.3); \draw[line width=2pt,color=qqqqff, smooth,samples=100,domain=-4.3:4.379999999999996] plot(\x,{2.718281828^(\x)}); \draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (0,5.58)-- (1.72,5.58); \draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (1.72,5.58)-- (1.72,0); \begin{scriptsize} \draw [color=black] (1.72,5.58)-- ++(-1.5pt,-1.5pt) -- ++(3.0pt,3.0pt) ++(-3.0pt,0) -- ++(3.0pt,-3.0pt); \draw[color=black] (-2,2) node {Représentation de \exp}; \fill [color=black] (0,5.58) circle (1.5pt); \draw[color=black] (-0.3,5.62) node {x}; \fill [color=black] (1.72,0) circle (1.5pt); \draw[color=black] (1.7,-0.28) node {\ln x}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture} \end{center} \end{itemize}
    • \begin{defin}[\small \black Logarithme Népérien] La définition précédente nous permet donc de définir une {\bf fonction appelée logarithme népérien de x :}\\ \begin{center} \begin{array}{ccccc} \ln & : & \rr_+^* & \to & \rr \\ & & x & \mapsto & \ln x \\ \end{array} \end{center} Cette fonction est donc la \underline{fonction réciproque de l'exponentielle}.
    {} Cette définition amène plusieurs remarques :\\ \begin{itemize}[label=\bullet]
  • La fonction exponentielle est strictement positive donc \underline{la fonction logarithme est définie sur \rr^*_+}\\
  • Pour tout x>0 on a :
    \ln(x)=y\Leftrightarrow x=\exp(y)
    \end{itemize}
    • \subsection{Quelques valeurs du logarithme népérien} \begin{multicols}{2} \begin{itemize}[label=\bullet]
  • \ln(1)=0
  • \ln(\e)=1
  • \ln\left(\e^2\right)=2
  • \ln\left(\frac{1}{\e}\right)=-1
  • \ln\left(\e^{5,4}\right)=5,4
  • \ln\left(\e^{-3}\right)=-3
  • \ln\left(100000\right)\approx 11,5 \hspace{1cm} A la calculatrice
  • \ln(0,0000001)\approx -16,1 \hspace{1cm} A la calculatrice
  • \ln\left(0\right) n'existe pas
  • \ln\left(-2\right) n'existe pas également. %
  • Pour tout nombre x strictement positif \exp(\ln(x)=x \end{itemize} \end{multicols} \vspace{0.2cm} Ces quelques valeurs nous permettent de \underline{\bf \red conjecturer } différents points sur le logarithme népérien. \begin{itemize}[label=\bullet]
  • C'est une fonction croissante.
  • Sa limite en +\infty semble être +\infty.
  • Sa limite en 0 semble être -\infty.
  • Bien qu'elle soit croissante elle semble être " très lente \fg. \end{itemize} \subsection{Propriétés Algébriques}
    [\red\heartsuit\red\heartsuit\red\heartsuit] \begin{minipage}{0.6\textwidth} Soit x et y deux réels strictement positifs :\\
    • [\bullet] \fbox{\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)}
    • [\bullet] \ln\Big(\dfrac{1}{x}\Big)=-\ln(x)
    • [\bullet] \ln\Big(\dfrac{y}{x}\Big)=\ln(y)-\ln(x)
    • [\bullet] \ln\Big(\sqrt{x}\Big)=\dfrac{1}{2}\ln(x)
    • [\bullet] Pour tout n\in\nn \ln\Big(x^n\Big)=n\ln(x)
    \begin{minipage}{0.3\textwidth} \coeur \end{minipage}
    {} \begin{itemize}
  • [\bullet] On a :\\ \exp\big(\ln(x\times y)\big)=x\times y=\exp\big(\ln(x)\big)\times \exp\big(\ln(y)\big)=\exp\big(\ln(x)+\ln(y)\big),\\ on en déduit que :\\\ln(x\times y)=\ln(x)+\ln(y)
  • [\bullet] 0=\ln(1)=\ln\Big(x\times\dfrac{1}{x}\Big)=\ln\big(x\big)+\ln\Big(\dfrac{1}{x}\Big),\\ on en déduit que :\\\ln(x)=-\ln\Big(\dfrac{1}{x}\Big)
  • [\bullet] \ln\Big(\dfrac{y}{x}\Big)=\ln\Big(y\times\dfrac{1}{x}\Big)=... aqt.
  • [\bullet] \ln(x)=\ln\Big(\sqrt{x}\times\sqrt{x}\Big)=\ln\Big(\sqrt{x}\Big)+\ln\Big(\sqrt{x}\Big)=2\times\ln\Big(\sqrt{x}\Big),\\ et donc \\ \ln\Big(\sqrt{x}\Big)=\dfrac{1}{2}\ln(x)
  • [\bullet] Par récurrence bien sûr... \end{itemize}
    \begin{itemize}[label=\bullet]
  • \ln(6)=\ln(3\times2)=\ln(3)+\ln(2)
  • \ln(1,25)=\ln\left(\dfrac{5}{4}\right)=\ln(5)-\ln(4)
  • \ln(32)-3\ln(2)=\ln(2^5)-3\ln(2)=5\ln(2)-3\ln(2)=2\ln(2)
  • \end{itemize}
    [Équation et Inéquation] Soit x et y deux nombres strictement positif on a les relations suivantes : \begin{center} \ln x=\ln y \iff x=y \qquad\qquad \ln x > \ln y \iff x>y \end{center}
    On rappelle que le symbole \iff signifie qu'il y a deux sens à démontrer. (sens direct et réciproque comme vous disiez au collège).\\ Commençons donc par démontrer : ln x=\ln y \iff x=y. \hspace{2cm}\bullet Le sens \impliedby est évident. \hspace{2cm}\bullet Supposons donc que \ln x=\ln y.\\ On a alors \e^{\ln x}=\e^{\ln y} et donc x=y. Démontrons alors : ln x>\ln y \iff x>y. \hspace{2cm}\bullet Le sens \implies est évident. A nouveau il suffit de prendre l'exponentielle des deux côtés de l'inéquation et comme l'exponentielle est croissante on en déduit le résultat. \hspace{2cm}\bullet Supposons donc que x > y.\\ On sait alors que x=\e^{\ln x} > \e^{\ln y}=y et donc par la propriété vu pour l'exponentielle on en déduit que \ln x > \ln y.
    Remarquez que l'on vient de démontrer que la fonction logarithme népérien est croissante. Et que cette croissance découle directement de la croissance de la fonction exponentielle.
    \section{Étude de la fonction Logarithme Népérien}
    [Continuité] La fonction \underline{\bf logarithme népérien est continue} sur \rr^*_+
    {} Admise
    [Dérivabilité et dérivée] La fonction \underline{\bf logarithme népérien est dérivable} sur \rr^*_+ et on a : \begin{minipage}{0.5\textwidth}
    \Big(\ln(x)\Big)'=\dfrac{1}{x}
    \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\textwidth} \coeur \end{minipage}
    Étudions donc la limite du taux d'accroissement du logarithme.\\ Soit x et y deux nombres strictement positif, on doit donc étudier la limite quand y tend vers x du rapport :
    \dfrac{\ln(x)-\ln(y)}{x-y}
    On pose alors, X=\ln x et Y=\ln y, on obtient donc :\\ \vspace{0.2cm} \dfrac{\ln(x)-\ln(y)}{x-y}=\dfrac{X-Y}{\e^X-\e^Y}=\dfrac{1}{\dfrac{\e^X-\e^Y}{X-Y}} Cependant comme la fonction \ln est continue on en déduit que quand y tend vers x alors \ln y tend vers \ln x et donc que Y tend vers X. Or on sait que \lim \limits_{Y\to X}\dfrac{\e^X-\e^Y}{X-Y}=\e^X, c'est le taux d'accroissement de l'exponentielle. Finalement on obtient :
    \lim \limits_{y\to x}\dfrac{\ln(x)-\ln(y)}{x-y}=\lim \limits_{Y\to X}\dfrac{1}{\dfrac{\e^X-\e^Y}{X-Y}}=\dfrac{1}{\e^X}=\dfrac{1}{x}
    Et donc :
    \Big(\ln(x)\Big)'=\dfrac{1}{x}
    [Variations] \begin{minipage}{0.5\textwidth} La fonction \underline{\bf logarithme népérien est strictement croissante} sur \rr^*_+. \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\textwidth} \coeur \end{minipage}
    {} Nous venons de voir que la dérivée de la fonction logarithme népérien est la fonction inverse qui est strictement positive on en déduit donc que : \begin{center} le logarithme est strictement croissant sur \rr^*_+. \end{center}
    [Limites] On a :\\
    \lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x)=-\infty\qquad et \qquad\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x)=+\infty
    \underline {en +\infty}\\ Soit A>0, on choisit x_0=\e^A, on a alors comme \ln(x) est croissante (C.f. plus haut) on en déduit que pour tout x>x_0, \ln(x)>\ln(x_0)=\ln(\text{e}^A)=A.\\ Ainsi par définition \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x)=+\infty\\ \underline {en 0^+}\\ On utilise \ln(x)=-\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) pour en déduire que \lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x)=-\infty
    \underline{Tableau de Variation}:\\ Finalement on peut en déduire le tableau de variation de la fonction :\\ \begin{minipage}{0.3\textwidth} \coeur \end{minipage} \begin{minipage}{0.7\textwidth} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \clip(-3.6,0.36) rectangle (5.84,4.7); \draw (-3.,4.)-- (5.,4.); \draw (5.,4.)-- (5.,1.); \draw (5.,1.)-- (-3.,1.); \draw (-3.,1.)-- (-3.,4.); \draw (-2.,4.)-- (-2.,1.); \draw (-3.,3.)-- (5.,3.); \draw [->] (-1.74,1.18) -- (4.7,2.78); \draw (-3.1,2.06) node[anchor=north west] {\ln(x)}; \draw (-2.62,3.7) node[anchor=north west] {x}; \draw (-1.86,3.64) node[anchor=north west] {0}; \draw (4.1,3.66) node[anchor=north west] {+\infty}; \draw (-1.7,1.62) node[anchor=north west] {-\infty}; \draw (4.1,2.52) node[anchor=north west] {+\infty}; \draw (-1.86,3.)-- (-1.86,1.); \end{tikzpicture} \end{minipage}
    [\red\heartsuit\red\heartsuitSigne du \ln] \ln est positif pour x\geq 1, négatif sinon.\\ \begin{center} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \clip(-2.42,1.52) rectangle (6.8,5.44); \draw (-2.,5.)-- (-2.,2.); \draw (-2.,5.)-- (6.,5.); \draw (6.,5.)-- (6.,2.); \draw (6.,2.)-- (-2.,2.); \draw (-1.,5.)-- (-1.,2.); \draw (-2.,4.)-- (6.,4.); \draw (-1.62,4.64) node[anchor=north west] {x}; \draw (1.94,4.68) node[anchor=north west] {1}; \draw (-1,4.64) node[anchor=north west] {0}; \draw [line width=2.pt] (-0.8,4.)-- (-0.78,2.); \draw (5.3,4.66) node[anchor=north west] {+\infty}; \draw (0.36,3.22) node[anchor=north west] {-}; \draw (4.5,3.2) node[anchor=north west] {+}; \draw (2.,4.)-- (2.,2.); \draw (1.8,3.1) node[anchor=north west] {0}; \draw (-2,3.1) node[anchor=north west] {\ln(x)}; \end{tikzpicture} \end{center}
    {} On sait que \ln(1)=0, on en déduit, comme la fonction est strictement croissante, le résultat.
    \subsection{Représentation graphique} \begin{center} \definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39,0.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \draw[->,color=black] (-0.36,0.) -- (12.04,0.); \foreach \x in {,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,9.,10.,11.,12.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize \x}; \draw[->,color=black] (0.,-2.06) -- (0.,3.98); \foreach \y in {-2.,-1.,1.,2.,3.} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize \y}; \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize 0}; \clip(-0.36,-2.06) rectangle (12.04,3.98); \draw[line width=2.8pt,color=qqwuqq,smooth,samples=200,domain=0.0001:12] plot(\x,{ln((\x))}); \begin{scriptsize} \draw[color=qqwuqq] (5,2) node {\ln}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture} \end{center} En outre puisque les fonctions sont réciproques l'une de l'autre elles sont symétriques par rapport à la droite y=x \begin{center} \definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1} \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0} \definecolor{qqwuqq}{rgb}{0,0.39,0} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \draw[->,color=black] (-2.98,0) -- (6.18,0); \foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4,5,6} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize \x}; \draw[->,color=black] (0,-2.56) -- (0,4.68); \foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize \y}; \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize 0}; \clip(-2.98,-2.56) rectangle (6.18,4.68); \draw[line width=2pt,color=qqwuqq, smooth,samples=100,domain=4E-2:6.179999999999997] plot(\x,{ln((\x))}); \draw [color=ffqqqq,domain=-2.98:6.18] plot(\x,{(-0--1*\x)/1}); \draw[color=qqqqff, smooth,samples=100,domain=-2.979999999999999:6.179999999999997] plot(\x,{2.718281828^(\x)}); \begin{scriptsize} \draw[color=qqwuqq] (3,1.5) node {ln}; \draw[color=black] (-2,-2) node {y=x}; \draw[color=qqqqff] (0.8,3.5) node {exp}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture} \end{center} \section{Croissance Comparée et autre limite}
    [Le \ln est la fonction la plus faible !] Deux limites à connaître : %\hspace{2cm} \begin{minipage}{0.5\textwidth} \begin{center} \begin{itemize}[label=\bullet]
  • \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0
  • \lim\limits_{x \to 0^+} x\ln(x)=0 \end{itemize} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\textwidth} \coeur \end{minipage}
    \begin{itemize}[label=\bullet]
  • On pose X=\ln(x) on a donc \dfrac{\ln(x)}{x}=\dfrac{X}{\e^X}, ainsi comme quand x tend vers l'infini X tend également vers l'infini, on en déduit que \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} est égale à \lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{X}{\e^X} qui est égale à 0, résultat que nous avons vu dans le chapitre sur l'exponentielle. (par croissance comparée de l'exponentielle).
  • On utilise la même idée : X=\ln(x), sauf que dans ce cas lorsque x tend vers 0^+ on sait que X tend vers -\infty.
    • [ Un taux d'accroissement] On a :
    \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+1)}{x}=1
    C'est une forme de limite dont nous commençons à avoir l'habitude. C'est le taux d'accroissement de la fonction \ln en x_0=1.
    \section{Fonction \ln(u(x))}
    Soit u une fonction définie sur un intervalle ouvert de \rr telle que \underline{pour tout x de cet intervalle u(x)>0}.
    On a alors :
    \Big(\ln\left(u(x)\right)\Big)'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}
    Admise