Chapitre 10 : Géométrie dans l'espace

Produit scalaire
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l’espace.
On considère les points A, B et C tels que $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}$. Les points A,B et C étant coplanaires, le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, noté $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$, est le réel
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ calculé dans un plan contenant les points A, B et C.

Un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ est un repère tel que la base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ soit orthonormée.

Produit scalaire & coordonnées

Dans une base orthonormée $(i,j,k)$ de l’espace, on considère deux vecteurs $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$
On a alors $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = xx ’ + yy’ + zz ’$

Une base orthonormée de l’espace est une base de l’espace telle que ses trois vecteurs soient orthogonaux deux à deux et tous de norme 1.
Autrement dit, $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ tel que :

• $\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{k} = \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{k} = 0$
• $\lVert \overrightarrow{i} \rVert = \lVert \overrightarrow{i} \rVert = \lVert \overrightarrow{i} \rVert = 1$

Norme & coordonnées

Dans une base orthonormée $(i,j,k)$ de l’espace, on considère deux vecteurs $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$


On a alors $\lvert \overrightarrow{u} \rvert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$