Chapitre 10 : Géométrie dans l'espace

Partie 2

Produit scalaire et orthogonalité
Produit scalaire
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l’espace.
On considère les points A, B et C tels que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}. Les points A,B et C étant coplanaires, le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}, noté \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}, est le réel
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} calculé dans un plan contenant les points A, B et C.

Remarque

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} ne dépend pas des représentants \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} choisis.

Propriété

Soient A, B et C trois points de l’espace tels que B et C soient distincts de A.
Si les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont tels que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}, alors :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \lVert \overrightarrow{u} \rVert \times \lVert \overrightarrow{v} \rVert\times \cos(\vec{u},\vec{v})

Autrement dit :
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})

Propriété

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 si et seulement si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
Un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) est un repère tel que la base (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) soit orthonormée.

Produit scalaire & coordonnées

Dans une base orthonormée (i,j,k) de l’espace, on considère deux vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} et \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}
On a alors \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = xx ’ + yy’ + zz ’

Vecteur normal

Soit \mathcal{P} un plan de base (\vec{u}, \vec{v}).
Un vecteur \vec{n} est normal au plan \mathcal{P} s’il est non nul et orthogonal à la fois à \vec{u} et à \vec{v}.

Equation cartésienne d'un plan

Soit \mathcal{P} un plan et \vec{n}\begin{pmatrix}{c} a\\ b\\ c \end{pmatrix}, alors le plan \mathcal{P} a pour équation :
ax + by + cz + d = 0, où d est un réel fixé à déterminer.
On se place dans un repère orthonormé de l’espace. Déterminer l'équation cartésienne du plan \mathcal{P} un plan qui passe par le point Z(5;-3;1) et qui admet pour vecteur normal \vec{n}\begin{pmatrix}{c} -5\\ 7\\ 1 \end{pmatrix}.

Déterminer l'équation cartésienne du plan \mathcal{P}
Position relative dans l'espace

Propriété

Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Carré scalaire

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \lvert u \rvert^2
Une base orthonormée de l’espace est une base de l’espace telle que ses trois vecteurs soient orthogonaux deux à deux et tous de norme 1.
Autrement dit, (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) tel que :
  • \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = \overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{k} = \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{k} = 0
  • \lVert \overrightarrow{i} \rVert = \lVert \overrightarrow{i} \rVert = \lVert \overrightarrow{i} \rVert = 1
Distance dans l'espace

Norme & coordonnées

Dans une base orthonormée (i,j,k) de l’espace, on considère deux vecteurs \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}


On a alors \lvert \overrightarrow{u} \rvert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Propriété

Soit \mathcal{P} un plan et \vec{n} un vecteur est normal au plan \mathcal{P} alors pour tout vecteur \vec{u} \in \mathcal{P}.

Position relative d'une droite et d'un plan

Soit \mathcal{P} un plan de vecteur normal \vec{n} et \mathcal{d} une droite du plan et \vec{u} un vecteur directeur de \mathcal{d} alors si \vec{u} et \vec{n} sont colinéaires alors \mathcal{P} et \mathcal{d} sont dit orthogonaux.

Position relative d'une droite et d'un plan

Soit \mathcal{P} un plan de vecteur normal \vec{n} et \mathcal{d} une droite du plan et \vec{u} un vecteur directeur de \mathcal{d} alors si \vec{u} et \vec{n} sont orthogonaux alors \mathcal{P} et \mathcal{d} sont dit parallèles.

Position relative d'une droite et d'un plan

Soit \mathcal{P}_1 un plan de vecteur normal \vec{n}_1 et \mathcal{P}_2 un plan de vecteur normal \vec{n}_2, alors \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont parallèles si et seulement si \vec{n}_1 et \vec{n}_2 sont colinéaires.
Distance dans l'espace

Distance d'un point par rapport à un plan

Soit A un point de l'espace, \mathcal{P} un plan de l'espace.
Le point de \mathcal{P} le plus proche de A est le point H, le projeté orthogonale de A sur \mathcal{P}.
On appelle la distance du point A par rapport à un plan \mathcal{P} la distance AH où H représente le projeté orthogonale de A sur \mathcal{P}.

Formule de calcul de la distance d'un point à un plan

Soit A un point de l'espace, \mathcal{P} un plan de l'espace, \overrightarrow{n} un vecteur normal de \mathcal{P} ainsi que B un point de \mathcal{P}.
Alors :
\text{AH} = \dfrac{ \left| \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n} \right|}{\lVert n \rVert}
Soit le point de l'espace D(-2;0;1) et \mathcal{P} un plan de l'espace de vecteur normal \overrightarrow{n} \begin{pmatrix}5\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix} passant par Z(4;5;8)
Déterminer la distance de D à \mathcal{P}.
Soit le point de l'espace A(5;2;-7) et \mathcal{P} un plan de l'espace d'équation cartésienne -3x+4y+2z +11 = 0
Déterminer la distance de A à \mathcal{P}.

Distance d'un point par rapport à une droite

Soit A un point de l'espace, et \mathcal{d} une droite de l'espace.
Le point de \mathcal{d} le plus proche de A est le point H, le projeté orthogonale de A sur \mathcal{d}.
On appelle la distance du point A par rapport à une droite \mathcal{d} la distance AH où H représente le projeté orthogonale de A sur \mathcal{d}.

Formule de calcul de la distance d'un point à une droite

Soit A un point de l'espace,et \mathcal{d} une droite de l'espace de vecteur directeur \overrightarrow{u} ainsi que B un point de \mathcal{d}.
Alors :
\text{AH} = \lVert \vec{AB} - \dfrac{ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u} }{\lVert \vec{u} \rVert^2} \vec{u} \rVert

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