Exemples de point fixe (ou non)

Animation

Propriété (admise)

Si la suite (u_n) converge vers L et si la fonction f est continue en L , alors : \lim\limits_{n \to +\infty } f(u_n) = L

Thèorème du point fixe

Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I dans lui‑même et (u_n ) la suite définie par un réel u_0 \in I et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = f(u_{n}).

Si (u_n) converge vers L \in I, alors f(L)=L.

On considère une fonction f définie et continue sur un intervalle I et à valeurs dans I.
Soit (u_n) une suite d’éléments de I convergeant vers un réel L \in I.
On sait que ​ :
    \lim\limits_{n \to +\infty } u_{n+1} = \lim\limits_{n \to +\infty } u_n
    \lim\limits_{n \to +\infty } f(u_n) = \lim\limits_{n \to +\infty } u_n
    f(L) = L

Conséquence

Soit I un intervalle, et (u_n) une suite convergente définie par \left\lbrace \begin{array}{l} u_0 = a \qquad a \in I \\ u_{n+1}= f(u_n) \\ \end{array} \right.
Si la fonction f est telle que :

• f continue sur I
• Pour tout x\in I, f(x) \in I

Alors la limite de (u_n) est la solution de l'équation f(x)= x