Exemples de point fixe (ou non)

Animation

Propriété (admise)

Si la suite $(u_n)$ converge vers $L$ et si la fonction $f$ est continue en $L$ , alors : $\lim\limits_{n \to +\infty } f(u_n) = L$

Thèorème du point fixe

Soient $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle I dans lui‑même et $(u_n )$ la suite définie par un réel $u_0 \in I$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = f(u_{n})$.

Si $(u_n)$ converge vers $L \in I$, alors $f(L)=L$.

On considère une fonction $f$ définie et continue sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $I$.
Soit $(u_n)$ une suite d’éléments de $I$ convergeant vers un réel $L \in I$.
On sait que ​ :
    $\lim\limits_{n \to +\infty } u_{n+1} = \lim\limits_{n \to +\infty } u_n$
    $\lim\limits_{n \to +\infty } f(u_n) = \lim\limits_{n \to +\infty } u_n$
    $f(L) = L$

Conséquence

Soit $I$ un intervalle, et $(u_n)$ une suite convergente définie par $\left\lbrace \begin{array}{l} u_0 = a \qquad a \in I \\ u_{n+1}= f(u_n) \\ \end{array} \right.$
Si la fonction $f$ est telle que :

• $f$ continue sur I
• Pour tout $x\in I$, $f(x) \in I$

Alors la limite de $(u_n)$ est la solution de l'équation $f(x)= x$