Chapitre 02

Partie 1 - Suite arithmético-geométrique

Objectifs

  • Montrer que la suite associé à une suite arithmético-geométrique est une suite géométrique;
  • Déterminer la forme explicite d'une suite arithmético-geométrique à partir de sa suite associée.

Définition

(u_n) est une suite arithmético-géométrique si elle est définie par un premier terme et la relation de récurrence u_{n+1} = au_n + b. avec a et b fixés dans \mathbb{R}

Exemple

Soit (u_n) la suite définie par :
\left\lbrace \begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = 0,5u_n + 5\\ \end{array} \right.
Cette suite est une suite arithmético-géométrique.
Ainsi u_0 = 1~;~u_1 = 5,5~;~u_2 = 7,75~;~\ldots
  • Si a = 1 et b \neq 0, on obtient une suite arithmétique de raison b.
  • Si a \neq 0 et b = 0, on obtient une suite géométrique de raison a.

Représentation graphique

Suites arithmético-géométriques et suites géométriques associées

Point fixe

Soit un réel \alpha.
\alpha est le point fixe de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b, c’est-à-dire f(\alpha) = \alpha.
On a aussi :
\alpha = \dfrac{b}{1-a}.

Propriété

Soit (un) une suite arithmético-géométrique définie, pour tout n entier naturel, par la relation de récurrence u_{n+1} = au_n + b avec a et b deux réels tels que a \neq 1 et b \neq 0.
Et un réel \alpha, point fixe de la fonction affine f(x) = ax +b .
Alors la suite (v_n) définie par v_n = u_n - \alpha est une suite géométrique de raison a.

Démonstration

On considère (u_n) une suite arithmético-géométrique définie par la relation de récurrence u_{n+1} = au_n + b avec a \neq 1 et b \neq 0 et \alpha le {\bf point fixe} de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b, c’est-à-dire le nombre tel que a\alpha + b = \alpha .

u_{n+1} - \alpha = au_n + b - (a\alpha + b)

Démonstration

u_{n+1} = au_n + b avec a \neq 1 et b \neq 0 et \alpha le nombre tel que a\alpha + b = \alpha .

Démonstration

u_{n+1} = au_n + b
u_{n+1} - \alpha = au_n + b - \alpha
u_{n+1} - \alpha = au_n + b - (a\alpha + b)
u_{n+1} - \alpha = au_n + b - a\alpha - b
u_{n+1} - \alpha = au_n - a\alpha
u_{n+1} - \alpha = a(u_n - \alpha)
En posant v_{n} = u_n - \alpha
v_{n+1} = a(v_n)
Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 0,5u_n + 1.
Dans ce cas, le point fixe est \alpha tel que : 0,5\alpha + 1 = \alpha, soit \alpha = 2.
  • Montrer que (v_n) la suite définie par v_n = u_n - 2 est une suite géométrique de raison 0,5.
  • Déterminer l'expression de v_n en fonction de n (forme explicite)
  • En déduire l'expression de u_n en fonction de n (forme explicite)