Chapitre 2 : Suites : Partie 1

Objectifs :

Une suite

\left( u_n \right)

est croissante sur

\mathbb{N}

lorsque

u_n \lt u_{n+1}

pour tout n. Une suite

\left( u_n \right)

est décroissante sur

\mathbb{N}

lorsque

u_n \gt u_{n+1}

pour tout

n

Une suite à la fois croissante et décroissante est une suite constante. Pour tout $n$ on a $u_n = u_{n+1}$
Une suite peut être ni croissante, ni décroissante ; par exemple : les termes de cette suite $(u_n)$ définie par $u_n~=~(-1)^n$ sont alternativement $1, -1, 1, -1, ...$

Il y a 3 méthodes pour déterminer le sens de variation d'une suite :

On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Lorsque $u_n = f(n)$ , on étudie le sens de variation de la fonction $f$ .
Lorsque $u_n \gt 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on étudie la position du quotient par rapport à 1

On étudie le signe de u_{n+1} - u_n.

Si $u_{n+1} - u_n \gt 0$ alors la suite $(u_n)$ est croissante sur $\mathbb{N}$ .
Si $u_{n+1} - u_n \lt 0$ alors la suite $(u_n)$ est décroissante sur $\mathbb{N}$ .
Si $u_{n+1} - u_n = 0$ alors la suite $(u_n)$ est constante sur $\mathbb{N}$ .

(u_n)

est donné par sa forme explicite ( i.e.

u_n = f(n)

), on étudie les variations de

f

Si $f(x)$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$ , alors la suite $(u_n)$ est croissante sur $\mathbb{N}$ .
Si $f(x)$ est décroissante sur $[0~;~+\infty[$ , alors la suite $(u_n)$ est décroissante sur $\mathbb{N}$ .
Si $f(x)$ est constante sur $[0~;~+\infty[$ , alors la suite $(u_n)$ est constante sur $\mathbb{N}$ .

Lorsque

(u_n) \gt 0

Si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$ , alors la suite $(u_n)$ est croissante sur $\mathbb{N}$ .
Si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$ , alors la suite $(u_n)$ est décroissante sur $\mathbb{N}$ .
Si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1$ , alors la suite $(u_n)$ est constante sur $\mathbb{N}$ .

Un nombre

M

est un majorant d'une suite

\left( u_n \right)

, si et seulement si pour tout

n\in\mathbb{N}

u_n \leq M

Un nombre

m

est un minorant d'une suite

\left( u_n \right)

, si et seulement si pour tout

n\in\mathbb{N}

u_n \leq M

Une suite

(u_n)

est bornée si elle admet un minorant et un majorant.
C'est à dire, il existe

m

M

dans

\mathbb{R}

tel que :

m \leq u_n \leq M

pour tout

n\in \mathbb{N}