Chapitre 1

Second degré

Thème & objectifs

  • Déterminer les racines d'un polynôme du second degré
  • Etudier le signe d'un polynôme du second degré

Définition & représentation graphique

Polynôme du second degrés

Un polynôme du second degré (ou fonction du second degré) est une fonction PP définie sur R\mathbb{R} par :

P(x)=ax2+bx+cP(x)= ax^2 + bx + c avec a≠0a\neq 0.

Parabole

La représentation graphique d'un polynôme PP du second degré est une parabole de sommet S(α;β)S(\alpha; \beta) avec :

α=−b2a\alpha = \dfrac{-b}{2a} et
β=P(α)=−b2−4ac4a\beta = P(\alpha) = -\dfrac{b^2 -4ac}{4a}
.

Si a<0a \lt 0


Si a>0a \gt 0



Forme canonique

La forme canonique d'un polynôme du second degré est l'écriture du polynôme sous la forme :

P(x)=a(x−α)2+βP(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta

Demo : Forme canonique

On considère la polynôme P(x)P(x) défini par P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c
P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx +c
P(x)=a(x2+bax)+cP(x) = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) +c
P(x)=a(x2+2b2ax+b24a2−b24a2)+cP(x) = a\left(x^2 + 2\dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2} \right) +c
P(x)=a(x2+2b2ax+b24a2)−ab24a2+cP(x) = a\left(x^2 + 2\dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}\right) - a\dfrac{b^2}{4a^2} +c
P(x)=a(x2+2b2ax+b24a2)−b24a+cP(x) = a\left(x^2 + 2\dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}\right) - \dfrac{b^2}{4a} + c
P(x)=a(x2+b2a)2−b24a+cP(x) = a\left(x^2 + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c
P(x)=a(x2+b2a)2−b2−4ac4aP(x) = a\left(x^2 + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a}

En posant :
α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a} β=−b2−4ac4a\beta = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a}

La forme canonique d'un polynôme du second degré est l'écriture du polynôme sous la forme :
P(x)=a(x−α)2+βP(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta

Extremum

On considère le polynôme su second degré P(x)P(x) défini par P(x)=ax2+bx+cP(x)= ax^2 + bx +c.
  • Si a<0a \lt 0, alors P(x)P(x) admet un maximum pour x=−b2ax = \dfrac{-b}{2a} qui vaut y=−b2−4ac4ay = -\dfrac{b^2 -4ac}{4a}


  • Si a>0a \gt 0, alors P(x)P(x) admet un minimum pour x=−b2ax = \dfrac{-b}{2a} qui vaut y=−b2−4ac4ay = -\dfrac{b^2 -4ac}{4a}

Racines et signe

Disciminant

On appelle discriminant, noté Δ\Delta, le nombre réel défini par :
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 -4ac

Signe et racines

Δ<0\Delta \lt 0
Solution de l'équation ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
L'équation n'admet pas de solution
Signe

Δ=0\Delta = 0
Solution de l'équation ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
l'équation admet une unique solution x1=−b2ax_1 = \dfrac{-b}{2a}
Signe


Δ>0\Delta \gt 0
Solution de l'équation ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
l'équation admet deux solutions x1=−b+Δ2ax_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} et x2=−b−Δ2ax_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
Signe

Forme factorisée

On considère le polynôme P(x)P(x) défini par P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 +bx +c
  • Si Δ>0\Delta \gt 0, alors la forme factorisée de P(x)P(x) est a(x−x1)(x−x2)a(x - x_1)(x - x_2) où x1x_1 et x2x_2 sont les solutions de l'équation P(x)=0P(x)=0
  • Si Δ=0\Delta = 0, alors la forme factorisée de P(x)P(x) est a(x−x1)2a(x - x_1)^2 où x1x_1 est la solution de l'équation P(x)=0P(x)=0
  • Si Δ<0\Delta \lt 0, alors P(x)P(x) n'admet pas de forme factorisée.