Chapitre 1

Second degré

Un polynôme du second degré (ou fonction du second degré) est une fonction

P

définie sur

\mathbb{R}

par :

P(x)= ax^2 + bx + c

avec

a\neq 0

La représentation graphique d'un polynôme

P

du second degré est une parabole de sommet

S(\alpha; \beta)

avec :

\alpha = \dfrac{-b}{2a}

\beta = P(\alpha) = -\dfrac{b^2 -4ac}{4a}

a \lt 0

a \gt 0

La forme canonique d'un polynôme du second degré est l'écriture du polynôme sous la forme :

P(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta

On considère la polynôme

P(x)

défini par

P(x) = ax^2 + bx + c

P(x) = ax^2 + bx +c

P(x) = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) +c

P(x) = a\left(x^2 + 2\dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2} \right) +c

P(x) = a\left(x^2 + 2\dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}\right) - a\dfrac{b^2}{4a^2} +c

P(x) = a\left(x^2 + 2\dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}\right) - \dfrac{b^2}{4a} + c

P(x) = a\left(x^2 + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c

P(x) = a\left(x^2 + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a}

En posant :

\alpha = -\dfrac{b}{2a}

\beta = -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a}

La forme canonique d'un polynôme du second degré est l'écriture du polynôme sous la forme :

P(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta

On considère le polynôme su second degré

P(x)

défini par

P(x)= ax^2 + bx +c

Si $a \lt 0$ , alors $P(x)$ admet un maximum pour $x = \dfrac{-b}{2a}$ qui vaut $y = -\dfrac{b^2 -4ac}{4a}$

Si $a \gt 0$ , alors $P(x)$ admet un minimum pour $x = \dfrac{-b}{2a}$ qui vaut $y = -\dfrac{b^2 -4ac}{4a}$

On appelle discriminant, noté

\Delta

, le nombre réel défini par :

\Delta = b^2 -4ac

\Delta \lt 0

Solution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$
L'équation n'admet pas de solution
Signe

\Delta = 0

Solution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$
l'équation admet une unique solution

x_1 = \dfrac{-b}{2a}

Signe

\Delta \gt 0

Solution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$
l'équation admet deux solutions

x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

Signe

On considère le polynôme

P(x)

défini par

P(x) = ax^2 +bx +c

Si $\Delta \gt 0$ , alors la forme factorisée de $P(x)$ est $a(x - x_1)(x - x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les solutions de l'équation $P(x)=0$
Si $\Delta = 0$ , alors la forme factorisée de $P(x)$ est $a(x - x_1)^2$ où $x_1$ est la solution de l'équation $P(x)=0$
Si $\Delta \lt 0$ , alors $P(x)$ n'admet pas de forme factorisée.