Activité
Trouver un moyen de décrire les vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w},\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CT}
Chapitre 10
Vecteur - Partie 2
Activité
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Base
Une base du plan est un couple (\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} ) formé de deux vecteurs non nuls qui n'ont pas la même direction.La base est dite orthonormée dans le cas où \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j} ont des directions perpendiculaires et ont pour norme 1 unité de longueur.
Propriété
Soit (\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} ) une base du plan.Pour tout vecteur \overrightarrow{u}, il existe un unique couple de nombres ( x~;~y ) tels que \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} .
On dit que \overrightarrow{u} a pour coordonnées (x~;~y) dans cette base.
On le note \overrightarrow{u} \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
Déterminer les coordonnées de \overrightarrow{u} \text{ et } \overrightarrow{v} dans la base (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} )
Opérations sur les coordonnées
Soit une base orthonormée \left( \vec{i}, \vec{j}\right) du plan, et k un nombre réel. Si \vec{u} \left( \begin{array}{c} x \\ y\end{array} \right) et \vec{v} \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right), alors :- \vec{u} + \vec{v} = \left( \begin{array}{c} x+x' \\ y + y' \end{array} \right)
- \vec{u} - \vec{v} = \left( \begin{array}{c} x -x' \\ y - y' \end{array} \right)
- k\vec{u} = \left( \begin{array}{c} kx \\ ky \end{array} \right)
Repère orthonormé
- Un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} ) est formé d’un point O et de deux vecteurs \overrightarrow{i} \text{ et } \overrightarrow{j} ) du plan de même norme et de direction perpendiculaire.
- Pour tout point M du plan, le couple de coordonnées de M dans le repère (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} ) est le couple (x, y) tel que : \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} ou encore \overrightarrow{OM} \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
Coordonnées d'un vecteur
Pour tout points A(x_A~;~y_A) et B(x_B~;~y_B) dans un repère (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} ), le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{array} \right)
Egalité de 2 vecteurs
Soit une base et les vecteurs \overrightarrow{u} \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) et \overrightarrow{v} \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right) .Alors \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} si et seulement si x= x' et y = y'
Milieu d'un segment
I est le milieu de [AB], si et seulement si\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}