Chapitre 08

Probabilité

Lancé de 2 dés

Lancé de 2 dé

On lance simultanement 2 dés cubiques. Le but de l'activité est d'étudier la somme de ces 2 dés.

Lancé de 2 dé

On lance simultanement 2 dés. Quelles sont les sommes qu'il est possibles d'obtenir ?

Lancé de 2 dé

D'après vous toutes les issues ont-elles la même chance de se produire ?

Simulation

On souhaite simuler le jeu à l'aide d'un tableur.
Complèter les cellules A2, B2 et C2 du fichier lance_de-2_des.ods à l'aide des instructions suivantes :
  • = ALEA.ENTRE.BORNES(min; max)
  • = SOMME(nb1; nb2)

Simulation

Etendre les formules des cellules A2, B2 et C2 jusqu'à la ligne 502

Bilan de l'expérience aléatoire

D'après les statistiques menées par la répétition de cette expérience, il semble que parmis les différentes issues le nombre 7 apparait plus souvent que les autres.

Modélisation de l'expérience

dé 2 \ dé 1 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Probabilités

Le 7 apparait : ... fois sur les ... issues possibles. La probabilité que la somme des 2 dès soit 7 est donc :

P(S=7) = \dfrac{..........}{..........}

Univers

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience.

On le note en général \Omega

Issue & événement

Soit une expérience aléatoire d'univers \Omega .
Chacun des résultats possibles s'appelle une issue.
On appelle événement tout sous ensemble de \Omega .

Un événement est donc constitué de zéro, une ou plusieurs issues.

Exemple

Le lancer d'un dé à six faces est une expérience aléatoire d'univers :
\Omega =\left\{1;2;3;4;5;6\right\}

L'ensemble peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est un nombre pair »
E_1=\left\{2;4;6\right\}

Exercice

Exercice

Probabilité

Intuitivement dans le cas équiréparti, la probabilité d'un évènement A inclus dans un Univers \Omega est le rapport de la partie lié à A sur \Omega.

Ainsi : P(A)=\dfrac{\textbf{Nombre de cas favorables à A}}{\textbf{Nombre de cas possibles}}

Exemple

Le lancer d'un dé à six faces. La probabilité de l'évenement A : « le résultat du dé est un nombre pair » est donnée par

P(A)= \dfrac{ \text{Nb éléments de l'ensemble } \left\{2;4;6\right\}}{\text{Nb d'issues possibles} }
P(A)= \dfrac{3}{6}
P(A)= 0,5

Exercice

Exercice 26 p. 341

Exercice 27 p. 341

Loi de probabilité

Définir une loi de probabilité sur l’ensemble \Omega, c’est associer à chaque issue xi un nombre p_i tel que :
  • 0 \leq pi \leq 1
  • p_1 + p_2 + ... + p_n = 1

Probabilité d'un événement

Dans le cas général, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalise. Par exemple, si A est l’événement A = {x_1; x_2; x_3} alors p(A) = p_1 + p_2 + p_3

Probabilité

\overline{A} est l’événement contraire de A et est composé de toutes les issues de \Omega qui ne sont pas contenue dans A

P(\overline{A}) = 1 - P(A)

Notation

Soit A et B deux évenements :
  • On note A \cup B : L'union de A avec B (les issues appartennant à A ou à B)
  • On note A \cap B : L'intersection de A avec B (les issues appartennant à A et B)

Théorème

Quels que soient les événements A et B de \Omega : P \left( A \cup B \right)= P\left( A \right)+p\left( B \right)-p\left(A \cap B \right)

Equation produit nulle

L’équation-produit A(x) \times B(x) = 0 est équivalente à A(x) = 0 ou B(x) = 0.
Inéquations

Symboles

Il existe six symboles de comparaison, à lire de gauche à droite :
  • = : est égal à
  • \neq : est différent de
  • < : est strictement inférieur à
  • > : est strictement supérieur à
  • \leq : est inférieur ou égal à
  • \geq : est supérieur ou égal à

Inéquations et addition

  • Ajouter (ou soustraire) un même nombre à chaque membre d’une inégalité ne change pas le sens de cette inégalité.
    Autrement dit, quelle que soit la valeur du réel c, l’inégalité a < b est équivalente à a + c < b + c.
  • Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens donne une inégalité de même sens. Autrement dit, si a < b et c < d, alors a + c < b + d.

Inéquations et multiplication

  • Multiplier (ou diviser) les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif ne change pas le sens de cette inégalité.
    • Autrement dit, pour tout réel a > 0, l’inégalité b < c » est équivalente à a\times b < a\times c .
  • Multiplier (ou diviser) les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement négatif change le sens de cette inégalité.
    Autrement dit, pour tout réel a < 0, l’inégalité b < c est équivalente à a\times b > a\times c .

Exercice

Résolution d'une inéquation

Résoudre une équation d’inconnue x signifie déterminer l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles l’inégalité est vraie :
L’ensemble des solutions de l’équation est donné sous la forme d'un intervalle.

Exemple

Résoudre l'inéquation suivante :
7x + 1 \geq 4x -5

Exemple

Résoudre l'inéquation suivante :
7x + 1 \geq 4x -5
7x + 1 -4x \geq \cancel{4x} -5 \cancel{-4x}
3x + 1 \geq -5
3x \cancel{+ 1} \cancel{-1} \geq -5 -1
3x \geq -6
\dfrac{\cancel{3}x}{\cancel{3} } \geq \dfrac{6}{3}
x \geq 2


x \in \big[ 2~;~+\infty \big[

Exercice

Modélisation

Exercice 140 p.107

Exercice 142 p.108

Exercice 142 p.108

Exercice 144 p. 108

Exercice 197 p.113