Chapitre 05

Calcul littéral & équations

Avec 2 programmes

On donne les deux programmes de calcul suivants :

  • Choisir un nombre
  • Lui ajouter 5
  • Mettre cette somme au carré
  • Choisir un nombre
  • Lui soustraire 3
  • Mettre cette différence au carré
Quel nombre doit on choisir au départ pour que les 2 programmes de calculs donnent le même résultat.

Avec 2 programmes

On donne les deux programmes de calcul suivants :

  • Choisir un nombre
  • Lui ajouter 6
  • Mettre cette somme au carré
  • Choisir un nombre
  • Lui soustraire 4
  • Mettre cette différence au carré
Quel nombre doit on choisir au départ pour que les 2 programmes de calculs donnent le même résultat.
Exprime l'aire de la surface colorée à l'aide d'une somme. Exprime l'aire de la surface colorée à l'aide d'un produit.
Une expression algébrique peut s'écrire sous différentes formes :
● Forme développée => somme algébrique de termes
● Forme factorisée => produit ou quotient de facteurs
Pour tous nombres réels a, b, c, d et k,
k(a+b)= ka + kb
k(a-b)= ka - kb
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd

Identités remarquables

  • (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  • (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  • (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Equations

Résoudre une équation

Résoudre une équation d’inconnue x signifie déterminer toutes les valeurs de x pour lesquelles l’égalité est vraie : c’est l’ensemble des solutions de l’équation.

Notation

L'ensemble des solutions sera noté :
S = \lbrace ... \rbrace

Propriété sur les equations

  • Lorsqu’on additionne (+) ou soustrait(-) un même nombre aux deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente.
  • Lorsqu’on multiplie (\times ) ou divise( \div) les deux membres d’une équation par un même nombre non nul, on obtient une équation équivalente.

Exemple

Résoudre dans \mathbb{R}, l'équation suivante :
3x - 7 = 14
3x -7 {\color{red}+7} = 14 {\color{red}+7}
3x = 21
\dfrac{3x}{\color{red} 3} = \dfrac{21}{\color{red}3}
x = 7           S = \lbrace 7 \rbrace

Exercice

Résoudre dans \mathbb{R}, les équations suivantes :
    x + 4 = 15
    8x -7 = 41
    -3x + 15 = 42
    6x + 15 = 2x - 61
Équation et programme de calcul

Vocabulaire

  • Somme :
  • Différence :
  • Produit :
  • Quotient :

Avec 1 programme

On donne le programme de calcul suivant :
  • Choisir un nombre
  • Le multiplier par 5
  • Soustraire 9 au produit
Quel nombre doit on choisir au départ pour obtenir -7 comme résultat ?

Avec 2 programmes

On donne les deux programmes de calcul suivants :

  • Choisir un nombre
  • Le multiplier par 5
  • Soustraire 9 au produit
  • Choisir un nombre
  • Lui soustraire 5
  • Multiplier cette différence par -9
Quel nombre doit on choisir au départ pour que les 2 programmes de calculs donnent le même résultat.

Equation produit nulle

L’équation-produit A(x) \times B(x) = 0 est équivalente à A(x) = 0 ou B(x) = 0.
Inéquations

Symboles

Il existe six symboles de comparaison, à lire de gauche à droite :
  • = : est égal à
  • \neq : est différent de
  • < : est strictement inférieur à
  • > : est strictement supérieur à
  • \leq : est inférieur ou égal à
  • \geq : est supérieur ou égal à

Inéquations et addition

  • Ajouter (ou soustraire) un même nombre à chaque membre d’une inégalité ne change pas le sens de cette inégalité.
    Autrement dit, quelle que soit la valeur du réel c, l’inégalité a < b est équivalente à a + c < b + c.
  • Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens donne une inégalité de même sens. Autrement dit, si a < b et c < d, alors a + c < b + d.

Inéquations et multiplication

  • Multiplier (ou diviser) les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif ne change pas le sens de cette inégalité.
    • Autrement dit, pour tout réel a > 0, l’inégalité b < c » est équivalente à a\times b < a\times c .
  • Multiplier (ou diviser) les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement négatif change le sens de cette inégalité.
    Autrement dit, pour tout réel a < 0, l’inégalité b < c est équivalente à a\times b > a\times c .

Exercice

Résolution d'une inéquation

Résoudre une équation d’inconnue x signifie déterminer l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles l’inégalité est vraie :
L’ensemble des solutions de l’équation est donné sous la forme d'un intervalle.

Exemple

Résoudre l'inéquation suivante :
7x + 1 \geq 4x -5

Exemple

Résoudre l'inéquation suivante :
7x + 1 \geq 4x -5
7x + 1 -4x \geq \cancel{4x} -5 \cancel{-4x}
3x + 1 \geq -5
3x \cancel{+ 1} \cancel{-1} \geq -5 -1
3x \geq -6
\dfrac{\cancel{3}x}{\cancel{3} } \geq \dfrac{6}{3}
x \geq 2


x \in \big[ 2~;~+\infty \big[

Exercice

Modélisation

Exercice 140 p.107

Exercice 142 p.108

Exercice 142 p.108

Exercice 144 p. 108

Exercice 197 p.113