Un peu d'histoire
Algèbre booléenne
George Boole
Au XIXe siècle, le britannique Georges Boole crée une algèbre pour traduire les raisonnements logiques
en opérations.
Cette algèbre ne contient que deux valeurs et 3 opérations de base.
Claude Shannon
Plus tard, au début de l'informatique dans les années 1930, Claude Shannon montre dans sa thèse qu'il
devrait également être possible d'utiliser des arrangements de relais électriques pour résoudre des
problèmes d'algèbre booléenne.
La route était ouverte à l'apparition des premier ordinateurs électriques, et bientôt électroniques.
Vrai ou Faux ?
"1 + 1 = 2" ET "2 + 2 = 4"Vrai ou Faux ?
"1 + 1 = 2" ET "1 + 3 = 5"Vrai ou Faux ?
"1 + 1 = 3" OU "Sydney est en Australie"Les booléens
Les booléens ne possèdent que deux valeurs qui sont donc codés que sur un seul bit:
- FAUX : noté 0 False, false ...
- VRAI : noté 1, True, true ...
Introduction à l'algèbre de Boole
L'algebre de Boole repose sur 3 opérateurs fondamentals.- l'opérateur NON
- l'opérateur ET
- l'opérateur OU
NON
Notation :
- NON a
- \lnot a
- !a
- \overline{a}
Table de vérité
| a | \lnot a |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
ET
Notation :
- a ET b
- a \wedge b
- a ~.~ b
- a~ \& ~b
Table de vérité
| a | b | a \wedge b |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
OU
Notation :
- a OU b
- a \lor b
- a + b
Table de vérité
| a | b | a \lor b |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
NAND
Notation :
- a NAND b
- \lnot (a \wedge b)
- !(a\&b)
Table de vérité
| a | b | \lnot (a \wedge b) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | |
| 0 | 1 | |
| 1 | 0 | |
| 1 | 1 |
XOR
La fonction OU exclusif est souvent appelée XOR
À deux opérandes, il associe un résultat qui a lui-même la valeur VRAI seulement si les deux opérandes ont des valeurs distinctes. Notation :
À deux opérandes, il associe un résultat qui a lui-même la valeur VRAI seulement si les deux opérandes ont des valeurs distinctes. Notation :
- a XOR b
- a \oplus b
- \veebar
Table de vérité
| a | b | a \oplus b |
|---|---|---|
| 0 | 0 | |
| 0 | 1 | |
| 1 | 0 | |
| 1 | 1 |
Le cours de NovelClass
Théorèmes de DE MORGAN
Démontrer les théorème de Morgan :Premier théorème : \lnot ( a \lor b ) = \lnot a \wedge \lnot b
Deuxième théorème : \lnot ( a \wedge b ) = \lnot a \lor \lnot b
Exercice
Table de vérité| a | b | \lnot ( a \lor b ) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | |
| 0 | 1 | |
| 1 | 0 | |
| 1 | 1 |
Exercice
Table de vérité| a | b | \lnot a \wedge \lnot b |
|---|---|---|
| 0 | 0 | |
| 0 | 1 | |
| 1 | 0 | |
| 1 | 1 |
Soient a, b et c trois booléens
Établir les tables de vérités de :
- a \wedge ( b \lor c) : a ET ( b OU c)
- a \wedge b \lor a \wedge c : a ET b OU a ET c
Sortie :
Turtle :
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