Fonction exponentielle

Chapitre 07

Définition et premières propriétés

Lemme

Si f est une fonction, définie et dérivable sur un domaine D_f , telle que :
  • f'(x) = f(x)
  • f(0) = 1


Alors pour tout x \in D_f,~~ f (x) \neq 0 ( c’est à dire f ne s’annule jamais).

Théorème

Il existe une unique fonction $f$ telle que :
  • f'(x) = f(x)
  • f(0) = 1


Cette fonction est appelée exponentielle et est notée exp.

Propriétés

  • Par définition, la fonction exponentielle \exp(x) est définie, continue et dérivable sur \mathbb{R}
    \big( \exp(x) \big)' = \exp(x)
  • La fonction exponentielle \exp(x) est strictement positive sur \mathbb{R}
Pour chacune des fonctions suivantes définies sur \mathbb{R}, déterminer l’expression de sa fonction dérivée.

  • f(x) = 5 \exp(x) + x
  • g(x) = \left(3x - 1 \right)^4 \exp(x)
  • h(x) = \dfrac{\exp(x)}{3x^2 + 4x + 2}
  • i(x) = \exp(6x - 5)

La constante d'Euler

exp(1)

Méthode d'Euler

Une première approximation

Un début

Approximation affine de la constante d'Euler


Pour cette 1ère approximation, on découpe, l'intervalle [0 ; 1] en 4.
On va donc appliquer notre méthode aux valeurs successives suivantes
0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1


Approximation affine de la constante d'Euler

  • Étape 1 : Déterminer l'équation de \mathcal{T}_0, la tangente à la courbe représentative de la fonction \exp(x), au point d'abscisse 0.
  • En déduire une valeur approchée de \exp(0,25)
  • Étape 2 : Déterminer l'équation \mathcal{T}_{0,25} de la tangente à la courbe représentative de la fonction \exp(x), au point d'abscisse 0,25.
  • En déduire une valeur approchée de \exp(0,5)
  • ....

Une seconde approximation

Un peu mieux

Une troisième approximation

Toujours mieux

Méthode d'Euler

    
def approximation_e(k):
	pas = ....
	x = ....
	fx = ....
	for _ in range(.....):
		x = ...
		fx = ... 
	return ...

Une dernière approximation

Avec une suite

Cas général

On suppose que l’on va cette fois‐ci diviser notre intervalle en k parties.
Ainsi h = \dfrac{1}{k} Soit la suite (U_n ) telle que U_n représente l’approximation de \exp\left( \dfrac{n}{k} \right) = \exp\left( nh \right) (c’est à dire le résultat intermédiaire obtenu à l’étape n ).

On a donc U_0 = 1
Déterminer l’expression de U_{n+1} en fonction de U_n
U_{n+1} = U_n*h + U_n
U_{n+1} = (1+h)U_n

Cas particulier

Dans ce cas particulier nous fixons k = 1000
  • Déterminer l’expression de Un+1 en fonction de Un .
    • U_{n+1} = (1+0,001)U_n
    U_{n+1} = (1,001)U_n
  • Déterminer l’expression de U_n en fonction de n .
    • (U_n ) est une suite géométrique de terme initial 1 et de raison 1,001.
    U_{n} = 1,001^n
  • Calculer U_1000 . Interpréter ce résultat.
    • U_{1000} = 1,001^{1000} = 2,71692393224

    e



    Propriétés algébriques

    Propriétés

    La fonction exponentielle a les mêmes propriétés algébriques que les puissances.
    Donc pour tout x et y \in \mathbb{R}
    • \exp(x+y) = \exp(x) \times \exp(y)
    • \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}
    • \exp(x-y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}
    • \left(\exp(x)\right)^y = \exp(x \times y )

    Démonstration

    Soit y un réel.
    On considère la fonction f(x)= \dfrac{\exp(x + y)}{\exp(x)}
    f est de la forme \dfrac{u}{v}
    u(x) = \exp(x+y)
    u'(x) = \exp(x+y)
    v(x) = \exp(x)
    v'(x) = \exp(x)


    f'(x) = \dfrac{\exp(x+y)\exp(x) - \exp(x+y)\exp(x) }{ \big( \exp(x) \big)^2}
    f'(x) = 0
    f est donc constante.

    Démonstration

    Calculons f(0)
    f(0)= \dfrac{\exp(0 + y)}{\exp(0)}
    f(0)= \exp(y)


    Ainsi pour tout x \in \mathbb{R}
    f(x)= \exp(y)
    \dfrac{\exp(x + y)}{\exp(x)} = \exp(y)
    \exp(x + y)= \exp(x)\exp(y)

    Démonstration

    \exp(x-x) = \exp(0)
    \exp(x-x) = 1
    \exp(x) \exp(-x) = 1
    \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}
    \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}
    \exp(x-y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}
    \left(\exp(x)\right)^y = \exp(x \times y )

    Exercice

    Utiliser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle pour simplifier les expressions suivantes :

    • A = \exp(x + 3) \times \exp(x - 1)
    • B = \left(\exp(x) \right)^2 \times \exp(3x)
    • C = \dfrac{\exp( x - 1 )}{\exp ( x + 2 )}


    Une nouvelle notation

    Pour tout n \in \mathbb{N}, on a :
    \exp(n) = \exp(1\times n) = \exp(1)^n = e^n


    Par extension, pour tout x \in \mathbb{R}, on note
    \exp(x)= e^x

    Exercices