Trigonométrie

Chapitre 06

Le cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique

Dans le plan muni d'un repère orthonormé

(O ; \vec{i},\vec{j})

, le cercle trigonométrique est le cercle de centre

O

et de rayon 1 qu'on parcourt dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, appelé le sens direct.

Radian

Un radian est la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 du cercle.
On définit ainsi une nouvelle unité d'angle : le radian, noté rad.

Correspondance degré/radian
La longueur du cercle trigonométrique est égale à

2\pi

(

\mathcal{P} = 2\pi R = 2\pi

).

Ainsi un tour complet mesure

360°

soit

2\pi

rad.

Correspondance degrés et radians

À $2\pi$ rad (tour complet) correspond un angle de $360°$ .

Angle en degré	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$360°$
Angle en radian	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

Exercice 1 — Conversions

Donner la mesure en radians de l'angle $a$ de mesure $33°$ .
Donner la mesure en degrés de l'angle $b$ de mesure $\dfrac{3\pi}{8}$ .

Exercice 2 — Compléter le tableau

Mesure en degré	90	210	…	…	15	…
Mesure en radian	…	…	$\dfrac{2\pi}{5}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	…	$\dfrac{55\pi}{2}$

Mesure d'un angle orienté

Propriété

Un angle orienté a plusieurs mesures. La droite orientée peut s'enrouler plusieurs fois autour du cercle dans un sens et dans l'autre.

Exemple : les points

N

P

d'abscisses

\dfrac{3\pi}{4}

\dfrac{11\pi}{4}

correspondent au même point

M

du cercle.
En effet :

\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{11\pi}{4}

Exercice 3 — Placer des points sur le cercle

On note

I(1,0)

le point du cercle situé sur l'axe des abscisses.
Pour tout point

M

du cercle trigonométrique, on appelle angle associé à $M$ l'angle orienté

\widehat{IOM}

Placer le point $M$ tel que $\widehat{IOM} = \dfrac{9\pi}{4}$ rad.
Placer le point $N$ tel que $\widehat{ION} = \dfrac{8\pi}{3}$ rad.

Exercice 4 — Associer les réels

Associe entre eux les réels qui représentent le même point sur le cercle trigonométrique.

$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{7\pi}{2}$	$\dfrac{7\pi}{4}$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$12\pi$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{9\pi}{6}$

$2\pi$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$5\pi$	$\dfrac{7\pi}{4}$	$\dfrac{15\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{2}$	$\dfrac{9\pi}{4}$

Angles de mesure négative

Propriété

La droite orientée peut aussi s'enrouler dans le sens négatif (sens des aiguilles d'une montre). On obtient ainsi des angles de mesure négative.

Angles de mesure négative

La droite orientée peut aussi s'enrouler dans le sens négatif (sens des aiguilles d'une montre). On obtient ainsi des angles de mesure négative.

Exercice 5 — Angles négatifs

Placer sur le cercle trigonométrique :

le point $M$ tel que $\widehat{IOM} = -\dfrac{3\pi}{4}$ rad.
le point $N$ tel que $\widehat{ION} = -\dfrac{7\pi}{6}$ rad.

Exercice 6 — Associer les réels (angles négatifs)

Associe entre eux les réels qui représentent le même point sur le cercle trigonométrique.

$-\dfrac{\pi}{3}$	$-\pi$	$-\dfrac{3\pi}{2}$	$-\dfrac{5\pi}{4}$	$-\dfrac{7\pi}{6}$	$-2\pi$	$-\dfrac{\pi}{2}$	$-\dfrac{11\pi}{6}$

$\dfrac{5\pi}{3}$	$\pi$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$0$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$\dfrac{\pi}{6}$

Mesure principale d'un angle orienté

Définition

Un angle possède plusieurs mesures. Si

\theta

est une mesure de l'angle

(\vec{i}, \overrightarrow{OM})

, alors

\theta + 2k\pi

avec

k \in \mathbb{Z}

en est aussi une. On dit que l'angle est égal à

\theta

modulo $2\pi$ .

La mesure principale d'un angle orienté est la mesure qui se situe dans l'intervalle

]-\pi\,;\,\pi]

Exemple

Une mesure d'un angle orienté est

\dfrac{7\pi}{4}

.

D'autres mesures sont :

\dfrac{7\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{\pi}{4}

\dfrac{7\pi}{4} - 4\pi = -\dfrac{9\pi}{4}

, …

-\dfrac{\pi}{4}

est la mesure principale car c'est la seule comprise dans

]-\pi\,;\,\pi]

Exercice — Mesure principale

Donner la mesure principale des angles :

\dfrac{27\pi}{4}

-\dfrac{35\pi}{6}

\dfrac{29\pi}{3}

Trigonométrie

Définition

\cos(\alpha) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}

\sin(\alpha) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}

\tan(\alpha) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}

Définitions

Soit M un point du cercle trigonométrique

Le cosinus du nombre réel $x$ est l'abscisse de M et on note $\cos x$ .
Le sinus du nombre réel $x$ est l'ordonnée de M et on note $\sin x$ .

Propriétés

-1 \leq \sin x \leq 1 \text{ et }-1 \leq \cos x \leq 1
\cos^2 x + \sin^2 x = 1
\sin(-x) = - \sin x \text{ et } \cos(-x) = \cos x

Propriétés

\sin(-x) = - \sin x \text{ et } \cos(-x) = \cos x

Propriétés

\cos( x + \pi ) = - \cos x \text{ et } \sin( x + \pi) = - \sin x
\cos\!\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) = - \sin x \text{ et } \sin\!\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) = \cos x
\cos(x) = \cos(x + 2k\pi) \text{ où } k \in \mathbb{Z}
\sin(x) = \sin(x + 2k\pi) \text{ où } k \in \mathbb{Z}

\cos(\pi - x) = - \cos x \text{ et } \sin(\pi - x) = \sin x
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \text{ et } \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x

B — Angles associés

On sait que $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ .

En utilisant la symétrie du cercle par rapport à l'axe des ordonnées, donner $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ .
En utilisant la parité du cosinus, donner $\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$ .
Donner tous les réels $x \in [0\,;\,2\pi]$ vérifiant $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ .

C — Du cercle à la courbe

Compléter le tableau par lecture du cercle trigonométrique.

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\pi$
$\sin(x)$

En utilisant $\sin(-x) = -\sin(x)$ , déduire les valeurs pour $x \in \left\{-\pi\,;\,-\dfrac{3\pi}{4}\,;\,-\dfrac{\pi}{2}\,;\,-\dfrac{\pi}{4}\right\}$ .
Que peut-on dire de la courbe de $\sin$ par rapport à l'origine ? Justifier avec la propriété utilisée.
Dans un repère, placer tous les points obtenus et esquisser la courbe de $f(x) = \sin(x)$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$ .

D — Parité et périodicité

On considère la fonction définie par :

f(x) = \dfrac{2}{2 + \cos x}

Déterminer l'ensemble de définition de $f$ .
Montrer que la fonction $f$ est paire.
Montrer que $f$ est périodique de période $2\pi$ .

E — Périodicité et parité

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = \sin(2x) + \cos(x)\sin(x)

Montrer que $f$ est périodique de période $\pi$ .
Déterminer la parité de la fonction $f$ .