Retour sur le nombre dérivé
Soit f la fonction définie par f(x)=x^2. Pour chaque valeur de a ci-dessous, déterminer le nombre dérivée f'(a)| a | f'(a) |
|---|---|
| 1 | |
| 2 | |
| 10 | |
| -3 |
Retour sur le nombre dérivé
Quelle conjecture peut-on émettre quant au lien entre a et f'(a)| a | f'(a) |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 10 | 20 |
| -3 | -6 |
Retour sur le nombre dérivé
Démontrer cette conjecture. On étudiera le nombre dérivée de la fonction f(x)=x^2 en a \text{( ou }x \text{)}Fonction dérivée
Soit k une fonction définie sur un intervalle I- On dit que f est dérivable sur I lorsque f admet un nombre dérivé pour tout réel x \in I, noté f' (x).
- On appelle fonction dérivée de f sur I, notée f', la fonction définie sur I par f' : x \mapsto f' (x).
Fonctions dérivées des fonctions de références
| Fonctions | Domaine de définition | Domaine de dérivabilité | Dérivée |
|---|---|---|---|
| k | \mathbb{R} | \mathbb{R} | 0 |
| x | \mathbb{R} | \mathbb{R} | 1 |
| x^2 | \mathbb{R} | \mathbb{R} | 2x |
| x^3 | \mathbb{R} | \mathbb{R} | 3x^2 |
| x^n \qquad n\in\mathbb{Z} | \mathbb{R}\text{ ou } \mathbb{R}^* | \mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{R}^* | nx^{n-1} |
Fonctions dérivées des fonctions de références
| Fonctions | Domaine de définition | Domaine de dérivabilité | Dérivée |
|---|---|---|---|
| \sqrt{x} | \mathbb{R}^+ | \mathbb{R}^{+*} | \dfrac{1}{2\sqrt{x}} |
| \dfrac{1}{x} | \mathbb{R}^* | \mathbb{R}^* | -\dfrac{1}{x^2} |
| \lvert x \rvert | \mathbb{R}^* | \mathbb{R}^* | 1 \text{ si } x \gt 0
-1 \text{ si } x \lt 0 |
Opérations sur les dérivées - 1
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.- La fonction u+v est dérivable sur I et (u+v)' = u' + v' .
- Soit k un réel. La fonction ku est dérivable sur I et (ku)'= ku'
Exercice
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le ou les intervalle(s) sur le(s)quel(s) elle est dérivable et déterminer sa fonction dérivée.- f(x) = 3x + 5
- g(x) = 7x^3 + 4x^2 - \sqrt{8}
- h(x) = 6x^2 - \dfrac{5}{x}
- i(x) = 7\sqrt{x}
Opérations sur les dérivées - 2
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et v non nulle sur cet intervalle.- La fonction u+v est dérivable sur I et (uv)' = u'v + uv' .
- La fonction \dfrac{1}{v} est dérivable sur I et \left(\dfrac{1}{v} \right)'= -\dfrac{v'}{v^2}
- La fonction \dfrac{u}{v} est dérivable sur I et \left(\dfrac{u}{v} \right)'= \dfrac{u'v - uv'}{v^2}
Le volume de la boite
Le volume de la boite
On dispose d'une feuille format A4 dans laquelle on veut fabriquer une boîte sans couvercle. Pour cela on découpe un carré dans chaque coin, puis on replie la feuille.Quelle doit être la dimension du carré découpé pour que la boîte ait le plus grand volume possible ?
Retour sur le devoir
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash \{ -\dfrac{5}{2}\} par f(x)= \dfrac{5x^2 - 3x + 2}{2x+5}- Montrer que f', la fonction dérivée de f, est définie sur \mathbb{R}\backslash\lbrace -\dfrac{5}{2} \rbrace, par f'(x) = \dfrac{10x^2 + 50x -19}{(2x + 5)^2} .
- Etudier le signe de f'(x). En déduire les variations de f. Les résultats seront synthétisés dans un tableau.
- Déterminer le minimum de la fonction f sur [-2;4]
Retour sur le devoir
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash \{ -\dfrac{5}{2}\} par f(x)= \dfrac{5x^2 - 3x + 2}{2x+5}f est de la forme \dfrac{u}{v} avec :
u(x) = 5x^2 - 3x + 2 u'(x) =10x - 3 v(x) =2x+5 v'(x) = 2
Retour sur le devoir
f'(x) = \dfrac{u'v - uv' }{v^2} f'(x) = \dfrac{(10x-3)(2x + 5) - (5x^2 - 3x + 2)(2)}{(2x+5)^2} f'(x) = \dfrac{(20x^2-6x +50x -15) - (10x^2 - 6x + 4)}{(2x+5)^2} f'(x) = \dfrac{20x^2-6x +50x -15 - 10x^2 + 6x - 4)}{(2x+5)^2} f'(x) = \dfrac{10x^2 + 50x -19)}{(2x+5)^2}